DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

viele Karten (ϕ α , U α ), deren Definitionsbereiche U α den Träger von f überdecken,
sowie eine den U α untergeordnete Partition der Eins {ϱ α } und definiert
∫
M
f dV g = ∑ α
∫
M
ϱ α f dV g . (10.7.2)
Wir zeigen, dass diese Definition weder von der Wahl der Überdeckung des Trägers
durch Karten noch von der Wahl der Partition der Eins abhängt. Seien dazu
(ϕ ′ β , V β) endlich viele weitere Karten mit supp(f) ⊆ ⋃ β V β, und sei {σ β } eine
diesen Karten untergeordnete Partition der Eins. Dann ist
∑
∫
α
M
ϱ α f dV g = ∑ α
∫
∫
= ∑ α,β
= ∑ ∫
β
= ∑ ∫
β
M
M
M
M
( ∑
σ β
)ϱ α f dV g
β
σ β ϱ α f dV g
( ∑
ϱ α
)σ β f dV g
α
σ β f dV g ,
wie behauptet. Das Volumen von M wird definiert als das Integral der konstanten
Funktion 1, also durch
∫
vol(M) = dV g . (10.7.3)
Diese Definition ist zunächst sinnvoll für kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Die praktische Berechnung von Integralen erfolgt meist durch Zerlegen von M
in parametrisierte Teilmengen, nicht durch explizite Konstruktion von Partitionen
der Eins.
Bemerkung. Die Abbildung f ↦→ ∫ M f dV g ist ein positives lineares Funktional
auf dem Raum Cc 0 (M) der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Nach dem
Rieszschen Darstellungssatz definiert sie also ein positives Maß auf der σ–Algebra
der Borelschen Mengen von M. Dieses Maß heißt das Lebesguesche Maß der Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Damit stehen die Begriffe und Resultate der
allgemeinen Maß– und Integrationstheorie auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten
zur Verfügung. Man vergleiche dazu etwa W. Rudins “Real and Complex Analysis”.
Da man insbesondere nichtnegative messbare Funktionen integrieren kann,
lässt sich die Definition (10.7.1) auch auf nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten
anwenden und liefert dann einen nicht notwendig endlichen Wert für
das Volumen von M.
10.8. Isometrien. Wir erinnern zunächst an den bereits in Abschnitt 7.9 eingeführten
Begriff des Pullbacks, und zwar im Spezialfall der (2, 0)–Tensorfelder. Ist A
89
M