DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Aufgrund von Gleichung (11.8.3),
Γ ij k = 1 2 gkl (∂ i g jl + ∂ j g li − ∂ l g ij ) (12.7.3)
und wegen L i k = h ij g jk stellen diese Gleichungen Beziehungen zwischen der ersten
und der zweiten Fundamentalform von M dar. Deren Komponenten können
also insbesondere nicht unabhängig voneinander beliebig vorgegeben werden. Wir
bemerken, dass die Gleichung ∂ i ∂ j n = ∂ j ∂ i n bei ähnlicher Rechnung ebenfalls die
Codazzi–Mainardi–Gleichungen liefert.
Die auf der rechten Seite der Gaußgleichung (12.7.1) stehenden Koeffizienten sind
die Komponenten des (3, 1)–Tensorfeldes
(
hjk L i l − h ik L j
l ) dw i ⊗ dw j ⊗ dw k ⊗ ∂
∂w l
auf M, dessen Wirkung auf Vektoren X, Y, Z und Kovektoren α sich unabhängig
von der Parametrisierung ψ beschreiben lässt durch
(X, Y, Z, α) ↦→ h(Y, Z) α(LX) − h(X, Z) α(LY ).
Folglich ist auch
mit den Komponenten
R = R ijk l dw i ⊗ dw j ⊗ dw k ⊗
∂
∂w l
R ijk l := ∂ i Γ jk l − ∂ j Γ ik l + Γ jk m Γ im l − Γ ik m Γ jm
l
(12.7.4)
der linken Seite von (12.7.1) unabhängig von der Parametrisierung. Der (3, 1)–
Tensor R heißt der Riemannsche Krümmungstensor von M. Seine geometrische
Bedeutung wird uns in späteren Kapiteln beschäftigen, die auch eine durchsichtigere
Definition von R nachliefern werden. Hier sei jedenfalls festgehalten, dass R sich
wegen (12.7.3) allein aus der ersten Fundamentalform bestimmen lässt, also der
inneren Geometrie von M angehört.
Satz. Für die Gaußkrümmung K von M gilt
K = h 11h 22 − (h 12 ) 2
g 11 g 22 − (g 12 ) 2
= R 122 l g l1
det(g ij ) . (12.7.5)
Insbesondere läßt sich K allein aus den Komponenten g ij der ersten Fundamentalform
und ihren Ableitungen berechnen.
Beweis. Multiplikation beider Seiten der Gaußgleichung mit g ls und anschließende
Summation über l ergibt wegen L i l g ls = h is
h jk h is − h ik h js = R ijk l g ls .
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