DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Speziell für die kovariante Ableitung von Eins–Formen α = α i dx i erhalten wir
∇α = α i,j dx i ⊗ dx j = (∂ j α i − Γ ji k α k ) dx i ⊗ dx j . (14.7.4)
Die Komponenten höherer kovarianter Ableitungen ∇ m A bezeichnen wir unter Weglassen
einiger Kommas mit
A i1...i r
j 1...j s ,k1...k m
anstelle von A i1...i r
j 1...j s ,k1,...,k m
. Mit etwas Mühe, aber ohne Schwierigkeiten lassen
sich der Gleichung (14.7.3) entsprechende Formeln für diese Komponenten herleiten.
14.8. Hessesche und Torsionstensor. Wir betrachten eine mit einem Zusammenhang
∇ ausgestatteten Mannigfaltigkeit M. Die Hessesche einer differenzierbaren
Funktion f auf M ist definiert als die zweite kovariante Ableitung
∇ 2 f = ∇(∇f) = ∇(df).
Sie ist also ein (2, 0)–Tensorfeld auf M. Für Vektorfelder X, Y ∈ V ist nach (14.6.3)
(∇df)(X, Y ) = Y (df(X)) − df(∇ Y X) = Y Xf − (∇ Y X)f.
Insbesondere ist ∇df nicht notwendig symmetrisch, sondern mit der Lieklammer
[X, Y ] = XY − Y X gilt
(∇df)(X, Y ) − (∇df)(Y, X) = df(∇ X Y ) − df(∇ Y X) − [X, Y ]f
= df(∇ X Y − ∇ Y X − [X, Y ]).
Lemma. Die durch
T (X, Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [X, Y ] (14.8.1)
definierte Abbildung T : V × V → V ist bilinear über C ∞ (M), also nach Abschnitt
6.7 ein (2, 1)–Tensorfeld auf M.
Das Tensorfeld T heißt der Torsionstensor des Zusammenhanges ∇. Zum Beweis
des Lemmas berechnen wir für f ∈ C ∞ (M)
T (fX, Y ) = ∇ fX Y − ∇ Y (fX) − [fX, Y ]
= f∇ X Y − (Y f) X − f∇ Y X − f[X, Y ] + (Y f) X
= f T (X, Y ).
Dabei haben wir Lemma 2 aus Abschnitt 7.3 verwendet. Entsprechend behandelt
man T (X, fY ). QED
Mit dieser Definition ergibt sich für die Hessesche
(∇df)(X, Y ) − (∇df)(X, Y ) = df(T (X, Y )). (14.8.2)
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