DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

3. Weingartenabbildung. (a) Sei S ⊆ R 3 eine Sphäre vom Radius ρ, versehen
mit der inneren Einheitsnormalen ν. Zeigen Sie, dass für die Weingartenabbildung
L : T S → T S gilt L = 1 ρ id T S.
(b) Ist M ⊆ R 3 eine zusammenhängende orientierte Fläche, für deren Weingartenabbildung
gilt L = 1 ρ id T M mit einer positiven Konstante ρ, dann ist M in einer
Sphäre vom Radius ρ enthalten.
4. Minimalflächen. Eine Fläche M ⊆ R 3 heisst eine Minimalfläche, wenn die
Spur ihrer Weingartenabbildung L p : T p M → T p M für jeden Punkt p ∈ M verschwindet.
(Diese Bedingung ist offenbar unabhängig von einer Orientierung von
M.) Zeigen Sie, dass das Katenoid und das Helikoid Minimalflächen sind.
Exkurs: Gruppenoperationen. Eine (Links–)Operation oder (Links–)Wirkung
einer Liegruppe Γ (mit neutralem Element e) auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
M ist eine differenzierbare Abbildung µ : Γ×M → M mit den Eigenschaften
µ(e, p) = p und µ(a, µ(b, p)) = µ(ab, p) für alle a, b ∈ Γ und p ∈ M. Man schreibt
kurz ap oder a · p anstelle von µ(a, p), wenn keine Missverständnisse zu befürchten
sind. Die Operation heißt frei und eigentlich diskontinuierlich, wenn gilt:
(a) Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U mit U ∩ aU = ∅ für
alle a ∈ Γ\{e}.
(b) Ist q ∈ M nicht in der Bahn Γp des Punktes p enthalten, dann
existieren Umgebungen U von p und V von q mit U ∩ aV = ∅ für alle
a ∈ Γ.
5. Quotientenmannigfaltigkeiten. Die Gruppe Γ operiere frei und eigentlich
diskontinuierlich auf der C ∞ –Mannigfaltigkeit M. Zeigen Sie:
(a) Der Quotientenraum Γ\M ist hausdorffsch und hat eine abzählbare Basis der
Topologie.
(b) Auf dem Quotientenraum existiert genau eine C ∞ –Struktur mit der Eigenschaft,
dass die kanonische Projektion π : M → Γ\M ein lokaler Diffeomorphismus
ist.
(c) Für diese Struktur gilt: f ∈ C ∞ (Γ\M) genau dann, wenn f ◦ π ∈ C ∞ (M) ist.
6. Orientierbarkeit von Quotienten. (a) Die Gruppe Γ operiere frei und
eigentlich diskontinuierlich auf der orientierten C ∞ –Mannigfaltigkeit M. Zeigen
Sie: Die Quotientenmannigfaltigkeit M → Γ\M ist genau dann orientierbar, wenn
jeder der Diffeomorphismen µ a = µ(a, ·) orientierungserhaltend ist.
(b) Zeigen Sie, dass die von den beiden Abbildungen γ 1 : (x, y) ↦→ (x, y + 1)
und γ 2 : (x, y) ↦→ (x + 1, −y) erzeugte Gruppe Γ ⊆ Diff(R 2 ) frei und eigentlich
diskontinuierlich auf R 2 operiert. Ist der Quotient orientierbar?
(c) Für welche Dimensionen n ist der reell projektive Raum RP n := {±id}\S n
orientierbar?
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