DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Mat(n, R) der reellen n × n–Matrizen. Man kann daher den Tangentialraum T e G
kanonisch mit Mat(n, R) identifizieren. Die Exponentialabbildung der Liegruppe G
wird damit zu einer Abbildung exp : Mat(n, R) → GL(n, R). Für X ∈ Mat(n, R)
ist die Exponentialreihe
e X =
∞∑
k=0
1
k! Xk = I + X + 1 2 X2 + . . .
für jede Wahl einer Norm auf Mat(n, R) absolut konvergent, und man sieht leicht,
dass c(t) = e tX ein differenzierbarer Homomorphismus (R, +) → G ist mit ċ(0) =
X. Der Satz zeigt nun, dass e tX = exp(tX) ist. Insbesondere gilt
exp(X) = e X . (17.8.2)
Kommentar: Liegruppen und Liealgebren. Sind X und Y linksinvariante
Vektorfelder auf einer Liegruppe G, dann ist auch [X, Y ] linksinvariant, da nach
Aufgabe 5 zu Kapitel 2 gilt
L a∗ [X, Y ] = [L a∗ X, L a∗ Y ] = [X, Y ].
Die Menge G aller linksinvarianten Vektorfelder auf G bildet deshalb bezüglich der
Lieklammer eine Liealgebra, und zwar eine Unteralgebra der Liealgebra aller C ∞ –
Vektorfelder auf G (siehe 7.3). Man nennt G die Liealgebra der Liegruppe G. Da
die Auswertungsabbildung X → X(e) ein Vektorraumisomorphismus von G auf
T e G ist, bezeichnet man oft auch T e G mit der von G durch diesen Isomorphismus
induzierten Lieklammer als die Liealgebra von G. Man erhält, indem man G mit
T e G identifiziert, eine Exponentialabbildung
exp : G → G,
mit deren Hilfe sich Eigenschaften der Gruppe G in Eigenschaften der Liealgebra
G übersetzen lassen. Insbesondere lässt sich die Gruppenoperation in durch exp
definierten Normalkoordinaten beschreiben durch die Liealgebrastruktur auf G ∼ =
T e G mittels der Campbell–Hausdorff–Formel
(
exp(X) exp(Y ) = exp X + Y + 1 2 [X, Y ]
+ 1
12 [X, [X, Y ]] + 1 [Y, [Y, X]]
12
− 1
1
)
[X, [Y, [X, Y ]]] −
48 48 [Y, [X, [X, Y ]]] + . . .
(17.8.3).
Dabei stehen auf der rechten Seite der Gleichung die ersten Glieder einer unendlichen
Reihe, die für alle X und Y aus einer Umgebung von 0 ∈ T e G absolut konvergiert.
Auch die weggelassenen Reihenglieder sind mehrfache Lieklammern von X
und Y , und zwar von mindestens vierter Ordnung in X und Y . Die Korrespondenz
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