DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

ausgeartet und von konstantem Index ist. Dabei ist der Index einer symmetrischen
Bilinearform die maximale Dimension eines Untervektorraumes, auf dem sie negativ
definit ist. Pseudo–Riemannsche Metriken vom Index Null sind also Riemannsche
Metriken, und solche vom Index 1 nennt man Lorentzmetriken. Pseudo–
Riemannsche Mannigfaltigkeiten (M, g) sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit
einer pseudo–Riemannschen Metrik, und solche mit einer Lorentzmetrik nennt man
Lorentzmannigfaltigkeiten. Wie in 14.9 ist jeder Pseudo–Riemannschen Metrik g
ein eindeutig bestimmter torsionsfreier Zusammenhang mit ∇g = 0 zugeordnet, der
Levi–Civita–Zusammenhang von g.
Die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt das Universum, genauer die Raumzeit,
als eine zusammenhängende, vierdimensionale Lorentzmannigfaltigkeit (M, g).
Frei im “Gravitationsfeld” fallende Partikel bewegen sich auf Weltlinien in M, die
zeitartige Geodätische von ∇ sind—das sind Geodätische c mit g(ċ, ċ) < 0. Diese
Weltlinien—etwa von Satelliten in einer Erdumlaufbahn —sind also “Geraden” im
Sinne der Lorentzgeometrie.
Die Lorentzmetrik hängt mit dem sogenannten Energie–Impulstensor T durch die
Einsteinschen Gleichungen
Ric − 1 scal · g = 8πT (20.4.1)
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zusammen. Im leeren Raum (oder weit entfernt von Materie) ist insbesondere T = 0,
und der Vergleich mit Teil (b) des Lemmas in 20.3 liefert Ric = 0. Teil (a) dieses
Lemmas liefert
T ij, j = 0.
eine Aussage, die sich als Energieerhaltungssatz interpretieren lässt.
20.5. Schnittkrümmung. Sei E ≤ T p M ein zweidimensionaler Untervektorraum
des Tangentialraumes in p. Bilden X, Y ∈ T p M eine Basis von E, dann hängt die
Zahl
〈R(X, Y ), Y, X〉
K(E) := K(X, Y ) :=
‖X‖ 2 ‖Y ‖ 2 (20.5.1)
− 〈X, Y 〉 2
nur von E, nicht von der Wahl der Basis ab. Man verifiziert das ohne Schwierigkeiten
mit Hilfe der Krümmungsidentitäten aus Abschnitt 20.1. Die Funktion E ↦→ K(E)
heißt die Schnittkrümmung der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). Sie hat als
Definitionsbereich die Menge Gr 2 (T M) der zweidimensionalen Untervektorräume
aller Tangentialräume T p M, die man auch als (ein) Grassmannbündel über M bezeichnet.
Man kann zeigen (Aufgabe 7), dass diese Menge Gr 2 (T M) die Struktur
eines differenzierbaren Faserbündels über M trägt.
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, für die K konstant ist, heißt ein Raum konstanter
Krümmung.
Bemerkungen. (a) Im Nenner von (20.5.1) steht das Quadrat des Flächeninhalts
des von X und Y aufgespannten Parallelogramms.
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