DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

20. Krümmung Riemannscher Mannigfaltigkeiten
Als Krümmungstensor R einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) bezeichnet
man den Krümmungstensor ihres Levi–Civita–Zusammenhanges. Er besitzt Symmetrieeigenschaften,
die zur Folge haben, dass R sich vollständig durch eine reellwertige
Funktion beschreiben lässt, die Schnittkrümmung K von (M, g). Diese
Funktion K, welche die Gaußkrümmung einer Fläche im R 3 verallgemeinert, ist
allerdings nicht auf M selbst definiert, sondern auf der Menge aller zweidimensionalen
Untervektorräume sämtlicher Tangentialräume T p M. Durch Spurbildung
erhält man aus dem Krümmungstensor ein symmetrisches (2, 0)–Tensorfeld Ric,
den Riccitensor, welcher zuerst durch sein Auftreten in den Feldgleichungen der
Gravitation Prominenz erlangt hat. Durch erneute Kontraktion entsteht aus Ric
die Skalarkrümmung.
Nach der Behandlung dieser allgemeinen Begriffe gehen wir auf die zweite Fundamentalform
und die Krümmung von Untermannigfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkeiten
ein. Indem wir die Resultate auf den Fall von Hyperflächen, also
Untermannigfaltigkeiten der Kodimension eins, spezialisieren, schließen wir an die
Krümmungstheorie der Flächen aus Kapitel 12 an.
Im Folgenden ist (M, g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, ∇ ihr
Levi–Civita–Zusammenhang, und R der Krümmungstensor von ∇. Wir schreiben
gelegentlich 〈X, Y 〉 = g(X, Y ) für das durch die Riemannsche Metrik gegebene
Skalarprodukt von Vektoren oder Vektorfeldern X und Y .
20.1. Krümmungsidentitäten. Sei R der Krümmungstensor der Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Dann gilt für alle Vektorfelder X, Y, Z ∈ V(M)
(a)
R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z
(b) g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z)
(c) g(R(X, Y )Z, W ) = g(R(Z, W )X, Y )
(d) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
(e) (∇ X R)(Y, Z) + (∇ Y R)(Z, X) + (∇ Z R)(X, Y ) = 0.
Dabei ist, entsprechend der Produktregel für ∇ X , die Abbildung (∇ X R)(Y, Z) :
V(M) → V(M) gegeben durch
(∇ X R)(Y, Z)W =∇ X (R(Y, Z)W ) − R(∇ X Y, Z)W
− R(Y, ∇ X Z)W − R(Y, Z)∇ X W.
Die Identität (a) gilt allgemeiner für beliebige Zusammenhänge, und (b) für solche,
die mit g verträglich sind. Beziehungen (d) und (e) gelten für beliebige torsionsfreie
Version 26. Juni 2000
197