DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

3. Fixpunktmengen von Isometrien. Sei f eine Isometrie einer Riemannsche
Mannigfaltigkeit (M, g), und sei
M f = {p ∈ M | f(p) = p}
die Menge ihrer Fixpunkte. Zeigen Sie, dass jede Zusammenhangskomponente
von M f eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von (M, g) ist mit Tangentialräumen
T p M f = {X ∈ T p M | (T p f)X = X} = Kern(T p f − id).
Hinweis: Ist p ∈ M f und ist U ⊆ T p M ein Ball um den Ursprung, der durch exp p
diffeomorph auf eine offene Teilmenge V von M abgebildet wird, dann ist
f| V = exp p ◦T p f ◦ (exp p | U ) −1 .
In Normalkoordinaten mit Zentrum p ist f also durch die lineare Abbildung T p f
gegeben.
4. Hyperbolischer Raum. Das Ballmodell des n–dimensionalen hyperbolischen
Raumes ist die Riemannsche Mannigfaltigkeit (D n , g), wobei D n = {x ∈ R n | |x| <
1} der Einheitsball im R n ist und
2 ∑
n
g(x) =
1 − |x| 2 dx i ⊗ dx i .
Dabei ist |x| = ( ∑ n
i=1 (xi ) 2) 1/2
die euklidische Norm. Zeigen Sie, dass (D n , g) eine
vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung K = −1 ist.
5. Synge–Ungleichung. Sei M ⊆ ¯M eine Untermannigfaltigkeit der Riemannschen
Mannigfaltigkeit ( ¯M, ḡ), versehen mit der induzierten Riemannschen Metrik.
Sei c : I → ¯M eine Geodätische, deren Bild in M liegt. Zeigen Sie, dass für die
Schnittkrümmungen von Ebenen E ⊆ T c(t) M ⊆ T c(t) ¯M mit ċ(t) ∈ E gilt
i=1
K(E) ≤ ¯K(E).
6. Grassmannmannigfaltigkeiten. Die Menge aller k–Tupel linear unabhängiger
Vektoren im R n nennt man die Stiefelmannigfaltigkeit V k,n . Sie kann offenbar
mit einer offenen Teilmenge des Raumes der reellen n×k–Matrizen identifiziert werden.
Die Menge aller k–dimensionalen Untervektorräume des R n heißt die Grassmannmannigfaltigkeit
Gr k,n . Man hat eine Abbildung σ : V k,n → Gr k,n , die jedem
k–Tupel seinen Spann zuordnet. Wir versehen die Grassmannmannigfaltigkeit mit
der Quotiententopologie zu dieser Abbildung. Zeigen Sie: Auf Gr k,n existiert genau
eine C ∞ –Struktur, für die σ eine Submersion ist.
7. Grassmannbündel. Sei M eine n–dimesnsionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Zeigen Sie, dass die Menge Gr k (T M) der k–dimensionalen Untervektorräume
aller Tangentialräume T p M die Struktur eines differenzierbaren Faserbündels über
M trägt, dessen Faser die Grassmannmannigfaltigkeit Gr k,n ist.
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