DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Geraden durch p 1 und p. Die Ebene, welche die Punkte p 0 , p ′ 0 und p enthält,
schneidet M in einer konvexen ebenen Kurve C. Sei C 1 ⊂ C der Teilbogen, der p 0
mit p verbindet und den Fußpunkt des Lotes von p 2 auf C enthält. Schließlich seien
¯C = f(C) und ¯p = f(p). Dann ist
‖p 1 − p‖ = ‖p 1 − p 2 ‖ + ‖p 2 − p‖
> ‖p 0 − p 2 ‖ + ‖p 2 − p‖
≥ L(C 1 )
(da C konvex)
= L(f(C 1 )) (weil f Isometrie)
≥ ‖¯p 0 − ¯p‖
= ¯ϱ(¯p) = ˜ϱ(p) = ϱ ′ (p) (da p ∈ M 1 )
= ‖p ′ 0 − p‖ .
Also liegt p ′ 0 zwischen p 0 und p 1 . Es folgt, wie behauptet,
〈r ′ (p), n(p)〉 = 〈p − p ′ 0, n(p)〉
= 〈p − p 1 , n(p)〉 + 〈p 1 − p ′ 0 , n(p)〉
< 0.
Behauptung 2. M 1 ist offen in M.
Sei p ∈ M 1 und ¯p = f(p). Wir wählen eine lokale Parametrisierung ψ : W →
ψ(W ) = U ⊆ M mit p ∈ U und verwenden die lokale Parametrisierung f ◦ ψ für
¯M. Die Funktion v := ˜ϱ − ϱ ′ ∈ C ∞ (M) erfüllt v ≤ 0 auf M, und v = 0 auf M 1 ,
hat also ein Maximum an p. Bezüglich der Parametrisierungen gilt nach Abschnitt
13.6 ∑
a ij ∂ i ∂ j v + ∑ b i ∂ i v = −2Kv ≥ 0
mit der Koeffizientenmatrix
( ( )
(a ij 1
) = −
〈r ′ h22 −h
, n〉
12
2 det(g ij ) −h 12 h 11
( ) ) ˜h22 −˜h
+〈˜r, ñ〉
12
.
−˜h 12
˜h11
Wir zeigen, dass diese Matrix auf M 1 , und damit auf einer Umgebung U 1 ⊆ U von
p, positiv definit ist. Weil K > 0 ist, und da n und ¯n die inneren Normalen sind,
haben die zweiten Fundamentalformen II M und II ¯M überall positive Eigenwerte,
sind also positiv definit. Daher ist auch die Matrix
det(h ij ) (h ij ) −1 =
129
( )
h22 −h 12
−h 12 h 11