DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

für f ∈ C ∞ (M), wobei v = c ′ (0) ist mit einer in M verlaufende Kurve c. Die Abbildung
˜Θ ist durch dieselbe Gleichung definiert, wobei aber c nicht in M verlaufen
muss. Wählt man für c speziell die Kurve c(t) = p + tv, dann ist also
˜Θ((p, v)) f = d dt∣ f(p + tv) (10.1.2)
0
für f ∈ C ∞ (R 3 ). Man verifiziert leicht, dass Θ und ˜Θ Vektorraumisomorphismen
sind, und dass gilt ˜Θ| TpM = T p ι ◦ Θ, so dass das Diagramm kommutiert.
Diese Beschreibung der Beziehungen zwischen den Tangentialräumen haben wir
koordinatenunabhängig formuliert. Sie gilt daher offenbar ebenso für Untermannigfaltigkeiten
beliebiger endlichdimensionaler Vektorräume. Verwendet man die Karte
ϕ = id von R 3 und die zugehörigen Basisfelder ∂/∂x i , die Standardbasisfelder des
R 3 , dann ist
d
dt ∣ f(p + tv) =
0
3∑
i=1
∂f
∂x i (p) · vi =
( 3∑
i=1
v i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i f
und daher
˜Θ(p, v) = v 1
∂
∂x 1 ∣ ∣∣∣p
+ v 2
∂
∂x 2 ∣ ∣∣∣p
+ v 3
∂
∂x 3 ∣ ∣∣∣p
. (10.1.3)
10.2. Tangentialraum und lokale Parametrisierung. Sei ψ : W → M eine
lokale Parametrisierung von M (siehe 2.2) mit einer offenen Teilmenge W ⊆ R 2 .
Dann sind die Vektoren ∂ψ/∂w 1 und ∂ψ/∂w 2 in jedem Punkt von W linear unabhängig,
und nach Lemma 3.1 gilt für w = ψ −1 (p)
{ ∂ψ
T p M = {p} × Dψ(w)R 2 = {p} × Spann
∂w 1 (w), ∂ψ
}
∂w 2 (w) .
Nach 2.4 ist (ψ −1 , ψ(W )) =: (ϕ, U) eine Karte von M als C ∞ –Mannigfaltigkeit.
Seien ∂/∂w 1 und ∂/∂w 2 die dieser Karte entsprechenden Basisfelder auf U. Das
folgende Lemma erklärt, welchen Elementen aus T p M die Vektoren ∂/∂w i (w) entsprechen.
Lemma. Sei Θ : T p M → T p M der Isomorphismus aus 10.1. Dann gilt für i = 1, 2
(
Θ p, ∂ψ )
∂w i (w) = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂w i
Insbesondere ist
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
=
3∑
k=1
∂ψ k
∂w i (ψ−1 (p))
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
. (10.2.1)
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