DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

in dasjenige der Parametrisierung ˜ψ im Punkt f(p) überführt, also
( ∂ψ
)
A
∂w 1 (0)
( ∂ψ
)
A
∂w 2 (0)
= ∂ ˜ψ
∂w 1 (0) ,
= ∂ ˜ψ
∂w 2 (0) ,
A (n M (p)) = n N (p) .
Dabei ist zu beachten, dass die lineare Abbildung A wegen 〈 ∂ψ/∂w i , ∂ψ/∂w k 〉 =
〈 ∂ ˜ψ/∂w i , ∂ ˜ψ/∂w k 〉 Skalarprodukte respektiert, so dass es sich tatsächlich um eine
orthogonale Abbildung handelt.
Für die Fläche φ(M) ergibt sich eine lokale Parametrisierung ¯ψ := φ ◦ ψ. Wir
werden zeigen, dass φ| M mit f übereinstimmt. Dazu beweisen wir zunächst, dass
¯ψ = ˜ψ ist, so dass jedenfalls φ| U = f| U gilt.
Für die Komponenten der Fundamentalformen und die Christoffelsymbole der Flächen
˜M := N und ¯M := φ(M) bezüglich der lokalen Parametrisierungen ˜ψ und ¯ψ
gilt, in leicht verständlicher Notation,
˜g ij ◦ ˜ψ = ḡ ij ◦ ¯ψ da f und φ Isometrien sind
˜h ij ◦ ˜ψ = ¯h ij ◦ ¯ψ weil f ∗ II N = II M gilt
˜L k i ◦ ˜ψ = ¯L k i ◦ ¯ψ da L k i = h il g lk ist
˜Γ k ij ◦ ˜ψ = ¯Γ k ij ◦ ¯ψ wegen Gleichung (11.8.3).
Wir beweisen als Beispiel die erste dieser Gleichungen. Die lokalen Parametrisierungen
ψ, ˜ψ und ¯ψ der Mannigfaltigkeiten M, ˜M und ¯M induzieren Basisfelder auf
den entsprechenden Kartengebieten, die wir mit ∂ i , ˜∂ i und ¯∂ i bezeichnen. Es gilt
f ∗ ∂ i = ˜∂ i und φ ∗ ∂ i = ¯∂ i . Da f und φ| M Isometrien sind, gilt für die ersten Fundamentalformen
f ∗ g ˜M
= g M und (φ| M ) ∗ g ¯M = g M . Daraus folgt, in etwas abgekürzter
Schreibweise,
˜g ij = g ˜M
( ˜∂ i , ˜∂ j )
= g ˜M
((T f)∂ i , (T f)∂ j )
= (f ∗ g ˜M
)(∂ i , ∂ j )
= g M (∂ i , ∂ j )
= g ij
und ebenso ḡ ij = g ij , also insgesamt ˜g ij = ḡ ij , jeweils ausgewertet an entsprechenden
Stellen. Ebenso beweist man die zweite Gleichung, und die beiden übrigen
Gleichungen ergeben sich unmittelbar aus der ersten und der zweiten.
Seien ¯Z k = ∂ ¯ψ/∂w k und ˜Z k = ∂ ˜ψ/∂w k . Dann ist nach den Ableitungsgleichungen
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