DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Das Vektorfeld X heißt vollständig oder global integrierbar, wenn der Definitionsbereich
des Flusses U = R × M ist, also wenn alle Integralkurven auf ganz R
existieren.
Satz 2. Jedes differenzierbare Vektorfeld mit kompaktem Träger ist vollständig.
Insbesondere ist jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit vollständig.
Dabei ist der Träger eines Tensorfeldes X definiert als der Abschluss der Menge
aller Punkte p ∈ M, in denen X(p) ≠ 0 ist. Zum Beweis von Satz 2 genügt es zu
zeigen, dass die maximalen Definitionsintervalle I p der Integralkurven abgeschlossen
sind. Da sie zugleich offen sind, folgt dann I p = R, also die Vollständigkeit. Die
Ausführung des Beweises ist Inhalt von Aufgabe 4 zu diesem Kapitel.
7.6. Einparametergruppen von Diffeomorphismen. Sei X ein vollständiges
Vektorfeld mit Fluss φ : R × M → M. Für festes t ∈ R sei φ t : M → M die
Abbildung
φ t (p) = φ(t, p) .
Dann ist φ 0 = id M die Identitätsabbildung von M, und Gleichung (7.5.2) wird zu
φ s ◦ φ t = φ s+t .
Daraus folgt insbesondere, dass φ t ein Diffeomorphismus von M auf sich ist mit
inverser Abbildung φ −t , und dass die Abbildung t ↦→ φ t ein Gruppenhomomorphismus
von R in die Gruppe Diff(M) := Diff ∞ (M) der C ∞ –Diffeomorphismen von M
auf sich ist.
Definition. Eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von M ist eine differenzierbare
Abbildung ψ : R × M → M mit der Eigenschaft, dass die Abbildung
t ↦→ ψ t := ψ(t, ·) ein Gruppenhomomorphismus von R nach Diff(M) ist.
Der Fluss eines vollständigen Vektorfeldes ist, wie eben bemerkt, eine Einparametergruppe
von Diffeomorphismen. Umgekehrt ist jede Einparametergruppe von
Diffeomorphismen der Fluss eines eindeutig bestimmten vollständigen Vektorfeldes
X. Ist nämlich die Einparametergruppe ψ gegeben, dann definiert man X(p) mit
der Schreibweise von (7.5.3) als
X(p) = d dt∣ ψ(t, p) ,
0
den Tangentialvektor an die Kurve t → ψ(t, p) an der Stelle t = 0. Man sieht
leicht ein, dass das so definierte Vektorfeld X differenzierbar ist, und die folgende
Rechnung zeigt, dass sein Fluss mit ψ übereinstimmt:
d
dt∣ ψ(t, p) = d t0
dt∣ ψ(t + t 0 , p) = d 0
dt∣ ψ(t, ψ(t 0 , p)) = X(ψ(t 0 , p)) .
0
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