DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

variantes orthonormales Repèrefeld auf G. Dann gilt:
(a) ∇ X Y = 1 2 [X, Y ]
(b) R(X, Y )Z = − 1 [[X, Y ], Z]
4
(c) 〈R(X, Y )Y, X〉 = 1 ‖[X, Y ]‖2
4
(d)
n∑
Ric(X, X) = 〈R(e i , X)X, e i 〉 = 1 4
i=1
Insbesondere hat (G, g) Schnittkrümmung K ≥ 0.
Beweis. Aufgrund des Lemmas gilt
n∑
‖[X, e i ]‖ 2 .
i=1
0 = (L X g)(Y, Z)
= Xg(Y, Z) − g([X, Y ], Z) − g(Y, [X, Z])
= −g([X, Y ], Z) − g(Y, [X, Z]).
(21.4.1)
Die lineare Abbildung ad (X) : G → G, ad (X)Y := [X, Y ] ist also für jedes linksinvariante
Vektorfeld X ∈ G antiselbstadjungiert bezüglich g. Die Formel (14.9.2) für
den Levi–Civita–Zusammenhang ergibt nun wegen Lemma (a)
2〈∇ X Y, Z〉 = g([X, Y ], Z) − g([Y, Z], X) + g([Z, X], Y )
= g([X, Y ], Z) + g(X, [Z, Y ]) + g([Z, X], Y )
= g([X, Y ], Z)
und damit (a). Zum Beweis von (b) berechnet man
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z
= 1 4 [X, [Y, Z]] − 1 4 [Y, [X, Z]] − 1 [[X, Y ], Z]
2
= − 1 4 [[Y, Z], X] − 1 4 [[Z, X], Y ] − 1 [[X, Y ], Z]
2
= − 1 [[X, Y ], Z].
4
Dabei wurde im letzten Schritt die Jacobi–Identität verwendet. Gleichung (c) ergibt
sich aus (b) mittels (21.4.1), und (d) folgt unmittelbar aus (c). QED
Das Zentrum einer Liealgebra G ist definiert als
C(G) = {X ∈ G | [X, Y ] = 0 für alle Y ∈ G}. (21.4.2)
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