DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Lemma 3. Sei G eine Liegruppe, und sei X ein linksinvariantes Vektorfeld auf G.
Dann gilt für den Fluss φ : R × G → G von X
φ(t, a) = a exp(tX e ).
Dabei ist exp : T e G → G die Exponentialabbildung (des kanonischen Zusammenhangs)
von G und X e = X(e).
Den Fluss eines linksinvarianten Vektorfeldes erhält man also durch Rechtsmultiplikation
mit der entsprechenden Einparameteruntergruppe.
Beweis. Es ist
d
dt∣ a exp(tX e ) = (T L a ) d t0
ds∣ exp((t 0 + s)X e )
0
= (T L a ) d ( ds∣ exp(t0 X e ) exp(sX e ) )
0
= (T L a )(T L exp(t0X e)) X e
= X(a exp(t 0 X e )).
Die Kurve t ↦→ a exp(tX e ) ist also eine Integralkurve des Vektorfeldes X durch den
Punkt a, und stimmt deshalb mit t ↦→ φ(t, a) überein. QED
21.4. Krümmung biinvarianter Metriken. Ein Vektorfeld X ∈ V(M) auf
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) heißt ein Killingfeld (oder eine “infinitesimale
Isometrie”), wenn sein Fluss φ t aus Isometrien besteht, wenn also gilt
L X g = 0 (siehe 7.9 und Aufgabe 2 in Kapitel 10). Sei G eine Liegruppe. Wie in
Abschnitt 17.8 bezeichnen wir mit G die Liealgebra von G, also die Menge aller
linksinvarianten Vektorfelder.
Lemma. Sei g eine Riemannsche Metrik auf G.
(a) Die Metrik g ist genau dann linksinvariant, wenn für alle linksinvarianten Vektorfelder
X, Y ∈ G die Funktion g(X, Y ) konstant ist.
(b) Ist g rechtsinvariant, dann sind alle X ∈ G Killingfelder.
Den Beweis von Teil (a) überlassen wir als einfache Übungsaufgabe. Teil (b) ergibt
sich sofort aus Lemma 3 im vorhergehenden Abschnitt. QED
Satz. Sei g eine biinvariante Riemannsche Metrik mit Levi–Civita–Zusammenhang
∇ auf einer Liegruppe G. Seien weiter X, Y, Z ∈ G, und sei e 1 , . . . , e n ein linksin-
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