DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Das Integral (10.6.1) lässt sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform von M berechnen.
Für Vektoren a, b ∈ R 3 gilt nämlich
( )
‖a × b‖ 2 = ‖a‖ 2 ‖b‖ 2 − 〈a, b〉 2 〈a, a〉 〈a, b〉
= det
.
〈b, a〉 〈b, b〉
Wegen g ik ◦ ψ = 〈(∂ψ/∂w i ), (∂ψ/∂w k )〉 folgt
und damit
∥ ∂ψ
∂w 1 × ∂ψ ∥ ( )
∥∥
2 g11 g = det 12
∂w 2 ◦ ψ =: det (g
g 21 g ik ) ◦ ψ
22
∫
U
∫∫
f dV =
W
f(ψ(w)) √ det(g ik (ψ(w))) dw 1 dw 2 .
Das folgende Lemma besagt, dass das Integral nicht von der Wahl der lokalen
Parametrisierung von M abhängt. Diese Tatsache ist wegen der skizzierten geometrischen
Bedeutung nicht überraschend.
Lemma. Sei σ : W ′ → W ein Diffeomorphismus und sei ψ ′ : W ′ → U die lokale
Parametrisierung ψ ′ = ψ ◦ σ. Sind g ik ′ die Komponenten der ersten Fundamentalform
bezüglich ψ ′ , also g| U = g ik ′ dw′i ⊗ dw ′k , dann gilt
∫∫
W
f(ψ(w)) √ ∫∫
det(g ik ) dw 1 dw 2 = f(ψ ′ (w ′ )) √ det(g ′ ik ) dw ′ 1 dw
′2 .
W ′
Beweis. Nach (6.2.2) gilt, in abgekürzter Schreibweise,
g ik ′ = ∂wj ∂w l
∂w ′ i
∂w ′ k g jl ,
also nach dem Multiplikationssatz für Determinanten
√
det(gik ′ ) =
( ∂w
j )∣ ∣∣ √
∣ det
∂w ′ i det(gik ) .
Die Behauptung folgt aus dem Transformationssatz für Integrale. QED
10.7. Integration auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Seien nun (M, g)
eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, (ϕ, U) eine Karte und W =
ϕ(U) ⊆ R n . Die Funktion f ∈ C 0 (M) habe kompakten Träger in U. Dann definiert
man
∫ ∫
f dV g = f(ϕ −1 (w)) √ det(g ik (ϕ −1 (w))) dw . (10.7.1)
M
W
Der Beweis des Lemmas in 10.6 zeigt, dass dieser Ausdruck unabhängig ist von
der Wahl der verwendeten Karte. Hat allgemeiner f ∈ C 0 (M) kompakten Träger
supp(f), der nicht notwendig in einer Karte enthalten ist, dann wählt man endlich
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