DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

die in jedem ihrer Punkte tangentiell an eine Asymptotenrichtung sind, nennt man
Asymptotenlinien. Zeigen Sie:
(a) In hyperbolischen Punkten halbieren die Hauptkrümmungsrichtungen die Winkel
zwischen den Asymptotenrichtungen.
(b) Die Asymptotenrichtungen einer Minimalfläche stehen in jedem nicht parabolischen
Punkt aufeinander senkrecht.
(c) Ist p ein hyperbolischer Punkt, dann schneidet die Tangentialebene E p = { p +
v | (p, v) ∈ T p M } eine Umgebung U ⊆ M von p in zwei Kurven, die im Punkt p
tangentiell an die Asymptotenrichtungen von M sind.
3. Torus. Für den durch die Parametrisierung
ψ(w 1 , w 2 ) = ((a cos w 1 + b) cos w 2 , (a cos w 1 + b) sin w 2 , a sin w 1 )
mit positiven Konstanten a < b gegebenen Torus M bestimme man die Koeffizienten
der ersten und zweiten Fundamentalform, die mittlere Krümmung, Gaußkrümmung
und die Hauptkrümmungen, und die Hauptkrümmungs- und Asymptotenrichtungen.
4. Positive Gaußkrümmung. Sei M ⊆ R 3 eine kompakte Fläche. Zeigen Sie:
(a) Ist M in einem euklidischen Ball vom Radius ρ enthalten, dann enthält M
Punkte mit Gaußkrümmung K ≥ 1/ρ 2 .
(b) Es gilt
∫
M
|K| dV ≥ 4π.
5. Gaußabbildung winkeltreu. Die Gaußabbildung einer zusammenhängenden
orientierten Fläche M ⊆ R 3 ohne Flachpunkte ist genau dann winkeltreu, wenn M
eine Minimalfläche oder jeder Punkt von M ein Nabelpunkt ist.
6. Regelflächen. Eine Fläche M ⊆ R 3 heißt eine Regelfläche, wenn jeder Punkt
p ∈ M eine Umgebung hat, die in der Form
ψ(w 1 , w 2 ) = c(w 1 ) + w 2 X(w 1 )
mit Abbildungen c, X ∈ C ∞ ((a, b), R 3 ) parametrisiert werden kann. M heißt abwickelbar,
wenn diese Parametrisierungen so gewählt werden können, dass zusätzlich
gilt ∂(n ◦ ψ)/∂w 2 = 0. Zeigen Sie :
(a) Das einschalige Hyperboloid
x2
a 2 + y2
b 2 − z2
= 1 ist eine Regelfläche.
c2 (b) Für jede bireguläre Kurve c ∈ C ∞ (I, R 3 ) ist die durch die Parametrisierung
ψ(w 1 , w 2 ) = c(w 1 ) + w 2 c ′ (w 1 ) (w 2 ≠ 0)
definierte Tangentenfläche abwickelbar.
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