DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(2)
∇(fX)
dt
= df
dt X + f ∇X
dt
für alle differenzierbaren Vektorfelder X, Y längs c und alle f ∈ C ∞ (I, R), und
∇(Y ◦c)
(3)
= ∇ċ Y.
dt
für alle Vektorfelder Y ∈ V(U), die auf einer offenen Menge U ⊇ c(I) definiert sind.
Beweis. Man kann annehmen, dass c(I) im Definitionsbereich einer Karte enthalten
ist. Sind ∂ i = ∂/∂x i die Basisfelder dieser Karte, dann ist X = X i ∂ i ◦ c mit
Komponentenfunktionen X i ∈ C ∞ (I, R). Wenn eine Abbildung ∇/dt mit den
Eigenschaften (1)–(3) für c existiert, dann ist notwendig
∇X
dt
= ∇ dt (Xi ∂ i ◦c)
= dXi
dt
= dXk
dt
= dXk
dt
∂ i ◦c + X i ∇ dt (∂ i◦c)
∂ k ◦c + X i ∇ċ ∂ i
∂ k ◦c + X i d(ϕj ◦c)
dt
∇ ∂j ◦c ∂ i ,
also mit c j = ϕ j ◦c und ∇ ∂j◦c ∂ i = (Γ ji k ∂ k )◦c
∇X
dt
( dX
k
=
dt
)
+ dci
∂
dt Xj Γ k ij ◦c ◦c (15.1.1)
∂xk Insbesondere ist ∇X/dt durch die Eigenschaften (1)—(3) eindeutig bestimmt. Definiert
man umgekehrt ∇X/dt bezüglich einer Karte durch (15.1.1), so sieht man
leicht, dass die Bedingungen (1)—(3) erfüllt sind, und dass die Definition nicht von
der Wahl der Karte abhängt. QED
Beispiel. Ist die Kurve c konstant, c(I) = {p}, dann ist X : I → T p M in lokalen
Koordinaten gegeben durch
X(t) = X i (t)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
,
und die kovariante Ableitung (15.1.1) reduziert sich auf die gewöhnliche Ableitung
der vektorraumwertigen Funktion X : I → T p M,
∇X dXk
(t) =
dt dt (t)
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
.
15.2. Parallelverschiebung. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M. Ein Vektorfeld
X längs der differenzierbaren Kurve c : [a, b] → M heißt parallel (längs c) wenn
∇X/dt = 0 ist.
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