DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Eine einfache Rechnung zeigt, dass A die Voraussetzungen des Satzes in 7.1 erfüllt.
Man bezeichnet das A entsprechende Vektorfeld mit [X, Y ] ∈ V(M) und nennt es
die Lieklammer von X und Y . Es gilt also
[X, Y ]f = X(Y f) − Y (Xf)
oder kurz [X, Y ] = XY − Y X. Man sagt, dass X und Y kommutieren, wenn ihre
Lieklammer [X, Y ] = 0 ist.
7.3. V(M) als Liealgebra. Eine reelle Liealgebra ist ein Paar (V, [·, ·]) bestehend
aus einem reellen Vektorraum V und einer R–bilinearen Abbildung
[·, ·] : V × V → V, (X, Y ) ↦→ [X, Y ]
mit den beiden folgenden Eigenschaften: Für alle X, Y und Z aus V gilt
[X, Y ] = −[Y, X]
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0
(Schiefsymmetrie)
(Jacobi–Identität)
Lemma 1. Mit der in 7.2 definierten Lieklammer bildet der Vektorraum V(M)
eine Liealgebra.
Beweis. Bilinearität und Schiefsymmetrie sind offensichtlich. Zum Nachweis der
Jacobi–Identität berechnet man für f ∈ C ∞ (M)
[[X, Y ], Z]f = [X, Y ]Zf − Z[X, Y ]f
= XY Zf − Y XZf − ZXY f + ZY Xf ,
und Entsprechendes für die beiden übrigen Terme der Jacobi–Identität. Die Addition
aller Terme ergibt Null. QED
Lemma 2. Seien f, g ∈ C ∞ (M), und sei fX ∈ V(M) das Vektorfeld (fX)(p) =
f(p)X(p). Dann gilt
[fX, gY ] = fg[X, Y ] + f · Xg · Y − g · Y f · X.
Beweis. Wegen (gY )h = g · Y h gilt für alle h ∈ C ∞ (M)
[fX, gY ]h = (fX)(gY )h − (gY )(fX)h
= f · X(g · Y h) − g · Y (f · Xh)
= f · (Xg · Y h + g · X(Y h)) − g · (Y f · Xh + f · Y (Xh))
= (f · g · [X, Y ] + f · Xg · Y − g · Y f · X ) h. QED
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