DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Korollar. Ist ∇ mit einer Riemannschen Metrik g verträglich, dann ist für alle
X, Y ∈ T p M der Endomorphismus R(X, Y ) : T p M → T p M schiefsymmetrisch bezüglich
g, also
g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z) (16.4.4)
für alle Z, W ∈ T p M.
Beweis. Nach (16.4.3) ist
R(X, Y ) = − lim
t→0
P t,t − I
t 2
= − d dt∣ P √ τ, √ τ .
τ=0
Da nach Proposition 15.5 die Parallelverschiebung isometrisch ist, gilt
g(p)(P √ τ, √ τ Z, P √ τ, √ τ W ) = g(p)(Z, W ).
Das Korollar ergibt sich, indem man diese Beziehung nach τ differenziert und τ = 0
setzt. QED
16.5. Flache Zusammenhänge. Ein Zusammenhang ∇ heißt flach, wenn sein
Krümmungstensor verschwindet, wenn also R = 0 ist. Um die geometrische Bedeutung
dieser Bedingung zu erläutern, führen wir zunächst folgende Begriffe ein.
Definition. Zwei differenzierbare Kurven c 0 und c 1 : [a, b] → M mit denselben
Anfangs- und Endpunkten c 0 (a) = c 1 (a) = p und c 0 (b) = c 1 (b) = q heißen differenzierbar
homotop (mit festen Endpunkten), wenn eine differenzierbare Abbildung
H : [0, 1] × [a, b] → M
existiert mit H(s, a) = p und H(s, b) = q für alle s ∈ [0, 1], und mit H(0, t) = c 0 (t)
und H(1, t) = c 1 (t) für alle t ∈ [a, b]. Die Abbildung H bezeichnet man dann als
eine differenzierbare Homotopie von c 0 nach c 1 .
Man stellt sich eine solche Homotopie meist als eine Familie c s (t) = H(s, t) von
Kurven c s vor, die alle denselben Anfangs- und denselben Endpunkt haben, und
durch welche die Kurve c 0 in die Kurve c 1 “deformiert” wird. Anstelle differenzierbarer
Kurven und Homotopien ist es oft von Vorteil, stetige oder stückweise
differenzierbare Kurven und Homotopien zuzulassen. Dabei heißt H stückweise differenzierbar,
wenn H stetig ist und es Unterteilungen 0 = s 0 < s 1 < . . . < s k = 1
und a = t 0 < t 1 < . . . < t m = b gibt dergestalt, dass die Einschränkung von H auf
jedes der Rechtecke [s i , s i+1 ] × [t j , t j+1 ] differenzierbar ist.
Definition. Ein Repèrefeld auf M ist ein n–Tupel X 1 , . . . , X n differenzierbarer
Vektorfelder auf M mit der Eigenschaft, dass X 1 (p), . . . , X n (p) für jeden Punkt
p ∈ M eine Basis des Tangentialraumes T p M ist. Repèrefelder werden auch als
bewegliche n–Beine bezeichnet, im Englischen als frame field.
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