DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Die Kurve c ist also eine monotone Umparametrisierung der Geodätischen γ.
Wir bemerken, dass die Voraussetzung über die Invertierbarkeit von T exp p insbesondere
dann erfüllt ist, wenn das Bild ˜c([a, b]) in einem Ball B p (0, ϱ) ⊆ T p M
enthalten ist, dessen Radius ϱ kleiner ist als der Injektivitätsradius inj(p) an p
(siehe Abschnitt 17.7).
Beweis. Indem man, falls nötig, zu einer Einschränkung von ˜c auf ein Teilintervall
[a 1 , b] ⊆ [a, b] übergeht, kann man annehmen, dass ˜c(s) ≠ 0 ist für alle s > a. Für
s ∈ (a, b] ist dann ˜c(s) = u(s)X(s), wobei die Funktion u(s) := ‖˜c(s)‖ / ‖X‖ positiv
und stückweise differenzierbar ist, und der Vektor
X(s) :=
‖X‖
‖˜c(s)‖ ˜c(s)
konstante Norm ‖X(s)‖ = ‖X‖ hat. Mit Ausnahme der endlich vielen Stellen, an
denen ˜c nicht differenzierbar ist, gilt
ċ(s) = (T exp p )˜c(s) ˙˜c(s).
Nun gilt allgemein für den Tangentialvektor einer Kurve Y (s) in einem Vektorraum
E stets
Ẏ (s) = ι Y (s) Y ′ (s) ∈ T Y (s) E,
wobei Y ′ (s) ∈ E die übliche Ableitung und ι Y (s) den kanonischen Isomorphismus
E ∼ = T Y (s) E bezeichnet. Im vorliegenden Fall ergibt sich mit ˜c(s) = u(s)X(s)
ċ(s) = (T exp)˜c(s) ι˜c(s) ˜c ′ (s)
= (T exp)˜c(s) ι˜c(s)
(
u ′ (s)X(s) + u(s)X ′ (s) )
= (T exp)˜c(s)
(
u ′ (s) ι˜c(s) X(s) + u(s) ι˜c(s) X ′ (s) ) .
Der Vektor ι˜c(s) X(s) ist radial im Sinne von Abschnitt 18.3, und wegen ‖X(s)‖ =
const ist ι˜c(s) X ′ (s) orthogonal zur radialen Richtung. Mit den beiden Lemmata aus
18.3 folgt für s ∈ (a, b]
‖ċ(s)‖ =
(
|u ′ (s)| 2 ‖X(s)‖ 2 + ∥ ∥(T exp p )˜c(s)
(
u(s)ι˜c(s) X ′ (s) )∥ ∥ 2 ) 1/2
≥ |u ′ (s)| ‖X(s)‖
≥ u ′ (s) ‖X‖ .
(∗)
Integration liefert für ε > 0
∫ b
ε
‖ċ(s)‖ ds ≥ (u(b) − u(ε)) ‖X‖ ,
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