DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

wobei die Fragezeichen ? Leerstellen bedeuten. Bezüglich einer Basis von V gilt
dann
C ν µ(A) = ∑ A i1···i µ−1ki µ···i r−1
j 1···j ν−1kj ν ···j s−1
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir−1 ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js−1 ,
wobei nun auch über den Index k summiert wird. Die Komponenten von Cµ(A)
ν
erhält man also, indem man den µ–ten unteren und den ν–ten oberen Index gleichsetzt
und aufsummiert. Die Abbildung Cµ ν heißt die Kontraktion (oder Spurbildung,
oder auch Verjüngung) über den µ–ten unteren und ν–ten oberen Index.
5.7. Überschiebungen. Kombinationen Cµ(A ν ⊗ B) von Tensorprodukt und
Kontraktion bezeichnet man gelegentlich als Überschiebungen der Tensoren A und
B. Wir zeigen als Beispiel, dass das “Einsetzen” eines Vektors in einen (2, 1)–Tensor
1
eine solche Überschiebung ist. Seien dazu A ∈ T2 (V ) und X ∈ T0 1 (V ). Dann ist A
eine multilineare Abbildung A : V × V × V ∗ → R, und durch Einsetzen von X an
der ersten Stelle entsteht daraus
Wir zeigen
A(X, ·, ·) ∈ T1 1 (V ).
A(X, ·, ·) = C1 2 (A ⊗ X),
das Tensorprodukt gefolgt von einer Kontraktion. Wir verifizieren das durch Rechnen
mit Komponenten, wobei wir einige Summenzeichen weglassen. Es ist
und damit
A ⊗ X = (A i1i 2
j 1
e ∗i1 ⊗ e ∗i2 ⊗ e j1 ) ⊗ (X j2 e j2 )
= A i1i 2
j 1
X j2 e ∗i1 ⊗ e ∗i2 ⊗ e j1 ⊗ e j2 ,
Andererseits ist
C 2 1 (A ⊗ X) = A ki 2
j 1
X k e ∗i2 ⊗ e j1
= A ki j X k e ∗i ⊗ e j .
A(X, ·, ·) = (A i1i 2 j e ∗i1 ⊗ e ∗i2 ⊗ e j )(X, ·, ·)
= A i1i 2 j e ∗i1 (X) e ∗i2 ⊗ e j
= A i1i 2 j X i1 e ∗i2 ⊗ e j ,
und Umbenennen von Summationsindizes liefert die Behauptung.
5.8. Summationskonvention. Zur Vereinfachung der Schreibweise ist es oft
bequem, bei Rechnungen mit Tensoren die Summenzeichen fortzulassen. Dabei ist
dann vereinbart, dass über alle Indizes, die doppelt auftreten, und zwar einmal als
unterer und das andere Mal als oberer Index, zu summieren ist. Man schreibt also
zum Beispiel für A ∈ Tr s (V )
A = A i1...i r
j 1...j s
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js
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