DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und damit
∫
d
dε∣ vol(Mϱ ε ) = −2
0
M
ϱH dV M .
Folgerung. Minimiert M den Flächeninhalt unter allen durch “normale” Variation
erhaltenen Nachbarflächen Mϱ ε, ϱ ∈ C∞ 0 (M), dann gilt H = 0.
Flächen im R 3 mit H = 0 heißen Minimalflächen, solche mit konstanter mittlerer
Krümmung nennt man H–Flächen. Da nur das Vorzeichen von H von der Wahl
einer Orientierung abhängt, sind diese Definitionen auch sinnvoll für nichtorientierbare
Flächen.
Beispiel für Minimalflächen sind die Ebenen, das Katenoid und das Helikoid aus Abschnitt
10.9. Weitere Beispiele lassen sich experimentell herstellen als Seifenhäute,
indem man ein geschlossene Randkurve aus Draht in Seifenlösung taucht. Allgemein
ist die mittlere Krümmung einer dünnen Membran proportional zur Druckdifferenz
ihrer beiden Seiten. Man kann deshalb H–Flächen erzeugen, indem man für
unterschiedlichen Luftdruck auf den beiden Seiten einer Seifenhaut sorgt. Die Aufgabe,
zu einer gegebenen geschlossenen Raumkurve ein Minimalflächenstück finden,
das von der Kurve begrenzt wird, bezeichnet man nach J. Plateau (1866) als das
Plateausche Problem.
12.7. Gleichungen von Gauß und Codazzi–Mainardi. In etwas abgekürzter
Notation lauten die Ableitungsgleichungen von Gauß und Weingarten aus Abschnitt
11.8
∂ j ∂ k ψ = Γ jk l ∂ l ψ + h jk n
∂ i n = −L i k ∂ k ψ.
Wir gehen aus von ∂ i ∂ j ∂ k ψ = ∂ j ∂ i ∂ k ψ und erhalten zunächst
∂ i Γ jk l ∂ l ψ + Γ jk l ∂ i ∂ l ψ + ∂ i h jk n + h jk ∂ i n =
∂ j Γ ik l ∂ l ψ + Γ ik l ∂ j ∂ l ψ + ∂ j h ik n + h ik ∂ j n,
und daraus durch Einsetzen der Ableitungsgleichungen
∂ i Γ jk l ∂ l ψ + Γ jk l Γ il m ∂ m ψ + Γ jk l h il n + ∂ i h jk n − h jk L i l ∂ l ψ =
∂ j Γ ik l ∂ l ψ + Γ ik l Γ jl m ∂ m ψ + Γ ik l h jl n + ∂ j h ik n − h ik L j l ∂ l ψ.
Spaltet man diese Gleichung auf in eine an M tangentielle und eine zu M normale
Komponente, so erhält man die Gleichungen von Gauß (12.7.1) und Codazzi–
Mainardi (12.7.2):
∂ i Γ jk l − ∂ j Γ ik l + Γ jk m Γ im l − Γ ik m Γ jm l = h jk L i l − h ik L j
l
(12.7.1)
Γ jk l h il − Γ ik l h jl + ∂ i h jk − ∂ j h ik = 0 (12.7.2)
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