DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(iv) Die Aussagen des Satzes lassen sich nicht ohne weiteres auf andere Zusammenhänge
übertragen. Sei etwa ∇ 0 der kanonische Zusammenhang einer Liegruppe
G. Nach Abschnitt 17.8 ist ∇ 0 vollständig. Dennoch ist die Exponentialabbildung
exp : T e G → G auch für zusammenhängende G nicht immer surjektiv. Sei etwa
G = GL + (2, R) = {a ∈ GL(2, R) | det(a) > 0}.
Dann ist G zusammenhängend, aber der Punkt
( )
−2 0
a =
0 −1
ist nicht im Bild von exp e enthalten. Wäre nämlich a = exp X, dann hätte man
a = exp( 1 2 X) exp( 1 2 X) = b2 mit einem b ∈ GL(2, R), woraus man leicht einen
Widerspruch herleitet. Andererseits zeigt man mit Hilfe der Jordanschen Normalform
unschwer, dass die Exponentialabbildung der Liegruppe GL(n, C) surjektiv
ist.
Wir kommen zum Beweis des Satzes.
(d)⇒(e) Da M wegzusammenhängend ist, gilt M = ⋃ ϱ>0
B(p, ϱ). Die Behauptung
folgt aus dem Satz in 19.1.
(a)⇒(b) Sei A ⊆ M abgeschlossen und beschränkt. Da A beschränkt ist, gilt
A ⊆ B(p, ϱ) für hinreichend große Radien ϱ. Und da A abgeschlossen ist, ist auch
das Urbild exp −1
p (A) abgeschlossen in T pM. Folglich ist à := exp−1 p (A) ∩ ¯B(0, ϱ)
eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von T p M, also kompakt. Nach 19.1
ist exp(Ã) = A, also ist A als Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen
Abbildung ebenfalls kompakt.
(b)⇒(c) Jede Cauchyfolge (p n ) n∈N ist beschränkt. Folglich ist auch der Abschluss
der Menge {p n | n ∈ N} beschränkt und zugleich abgeschlossen, also nach (b) kompakt.
Daher besitzt (p n ) eine konvergente Teilfolge. Da Cauchyfolgen höchstens
einen Häufungspunkt haben können, ist die Folge (p n ) selbst konvergent.
(c)⇒(d) Sei X ∈ T M, und sei J X ⊆ R das maximale Definitionsintervall der Geodätischen
c(t) = exp tX. Wir zeigen J X = R. Wegen J aX = aJ X (siehe 17.2) kann
man annehmen, dass ‖X‖ = 1 ist. Dann ist c nach der Bogenlänge parametrisiert.
Wir führen die Annahme eines endlichen Supremums t 0 := sup(J X ) < ∞ zu einem
Widerspruch. Sei dazu t j ∈ J X eine Folge mit lim j→∞ t j = t 0 . Dann gilt
d ( c(t j ), c(t k ) ) ≤ L ( c| [tj,t k ])
= |tj − t k | .
Also ist c(t j ) eine Cauchyfolge in M. Sei q ihr Grenzwert, und sei ε > 0 so klein
gewählt, dass der abgeschlossene Ball B := ¯B(q, ε) kompakt ist. Nach 19.1 ist das
der Fall, wenn für ein ε ′ > ε der Ball B(0, ε ′ ) ⊆ T q M im Definitionsbereich von
exp q enthalten ist. Indem man ε nötigenfalls verkleinert, kann man annehmen, dass
die Menge
{X ∈ T M | π(X) ∈ B und ‖X‖ < ε}
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