DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Jeder Vektorraum hat offenbar genau zwei Orientierungen. Sind {O p } und
{O ′ p} zwei Orientierungen von M, dann ist die Menge {p ∈ M | O p = O ′ p} zugleich
offen und abgeschlossen in M. Da M zusammenhängend ist, ist sie leer oder stimmt
mit ganz M überein. QED
Lemma. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (M, A) ist genau dann orientierbar,
wenn es einen Atlas A + ⊆ A gibt, dessen Kartenwechsel positive Funktionaldeterminanten
haben: det(D( ˜ϕ ◦ ϕ −1 )) > 0 für alle (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ) ∈ A+ . Maximale
Atlanten A + ⊆ A mit dieser Eigenschaft entsprechen bijektiv den Orientierungen
von M.
Beweis. Sei {O p | p ∈ M} eine Orientierung. Wir definieren einen Atlas A + durch
A + = { (ϕ, U) ∈ A ∣ ∣ [(
∣ ∣
∂ ∣∣∣p ∂ ∣∣∣p )]
∂x 1 , . . . ,
∂x n = O p für alle p ∈ U } .
Dabei bezeichnen ∂/∂x i die Basisfelder der Karte ϕ. Sind (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ) ∈ A+ ,
und sind ∂/∂x i und ∂/∂˜x i die entsprechenden Basisfelder, dann gilt für p ∈ U ∩ Ũ
∂
∂˜x i ∣ ∣∣∣p
= ∂xk
∂˜x i (ϕ(p))
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
.
Nach Definition von A + hat die Matrix (∂x k /∂˜x i ) positive Determinante. Diese
Matrix ist aber die Matrix der Ableitung D(ϕ ◦ ˜ϕ −1 )(ϕ(p)). Also hat der Atlas A +
die gewünschte Eigenschaft. Die umgekehrte Implikation ist offensichtlich. QED
Bemerkung. Ein lokaler Diffeomorphismus φ : M → N zwischen orientierten
Mannigfaltigkeiten heißt orientierungserhaltend, wenn für jeden Punkt p ∈ M die
Ableitung T p φ positiv orientierte Basen von T p M in positiv orientierte Basen von
T φ(p) N abbildet. Im Beweis des Lemmas ist A + die Menge aller orientierungserhaltenden
Karten in A, wobei R n mit der durch die Standardbasis definierten Standardorientierung
versehen ist. Denn die Ableitung T p ϕ einer Karte ϕ bildet die zur
Karte gehörenden Basisfelder ∂/∂x i in die Standardbasisfelder des R n ab.
11.2. Gaußabbildung. Ist M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche, dann existiert genau
eine Abbildung ν : M → T R 3 mit folgenden Eigenschaften: Es gilt
ν(p) ∈ T p R 3 , ν(p) ⊥ T p M und ‖ν(p)‖ = 1
für alle p ∈ M und bezüglich der Standardmetrik g R 3 des R 3 , und für jede positiv
orientierte Basis (X 1 , X 2 ) von T p M ist (X 1 , X 2 , ν(p)) eine positiv orientierte Basis
von T p R 3 . Die Abbildung ν ist also ein Einheitsnormalenfeld, das im beschriebenen
Sinne mit der Orientierung von M und der Standardorientierung des R 3 verträglich
ist. Schreibt man unter Verwendung der Standardbasisfelder ∂/∂x l des R 3
ν(p) = n l (p)
96
∂
∂x l ∣ ∣∣∣p
,