DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Für die zweiten Fundamentalformen erhält man mit Beispiel 10.9.(a) schließlich
((φ| M ) ∗ ( )
II N )(X, Y ) = II N (T φ)X, (T φ)Y
(
= g N LN ((T φ)X), (T φ)Y )
(
= ± g N (T φ)LM X, (T φ)Y )
= ± g M (L M X, Y )
= ± II M (X, Y ) .
11.8. Ableitungsgleichungen. Ist ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine lokale
Parametrisierung der orientierten Fläche M, dann bilden die Vektoren ∂ψ/∂w k (w)
zusammen mit dem Normalenvektor n(ψ(w)) für jeden Parameterwert w ∈ W eine
Vektorraumbasis des R 3 . Insbesondere kann man die zweiten partiellen Ableitungen
von ψ als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben und gelangt so zu den
Ableitungsgleichungen von Gauß,
∂ 2 ψ
∂w i ∂w k = Γ ik l ◦ψ ∂ψ
∂w l + h ik◦ψ · n◦ψ . (11.8.1)
Die dabei auftretenden Funktionen Γ ik l ∈ C ∞ (U) nennt man Christoffelsymbole.
Die Koeffizienten h ik sind die Komponenten der zweiten Fundamentalform II aus
Gleichung (11.5.2). Neben den Gaußschen haben wir aus (11.6.2) die Weingartenschen
Ableitungsgleichungen
∂(n ◦ ψ)
∂w i
= −L i k ◦ψ ∂ψ
∂w k . (11.8.2)
Zusammen genommen drücken diese Ableitungsgleichungen die Ableitungen des
“begleitenden Dreibeins” ∂ψ/∂w 1 , ∂ψ/∂w 2 , n durch das Dreibein selbst aus. Sie
stellen daher ein Analogon zu den Frenetschen Gleichungen für Kurven im R 3 dar,
und wir werden sie in Abschnitt 11.9 auch in ähnlicher Weise verwenden.
Um die Christoffelsymbole Γ ik
l
zu berechnen, schreiben wir abkürzend ∂ i ψ =
∂ψ/∂w i und unterdrücken ◦ψ. Dann lauten die Gaußschen Ableitungsgleichnungen
∂ i ∂ k ψ = Γ ik l ∂ l ψ + h ik n .
Das Skalarprodukt mit ∂ m ψ ergibt nach Abschnitt 10.3
Mit der Produktregel
〈∂ i ∂ k ψ, ∂ m ψ〉 = Γ ik l g lm .
∂ i 〈∂ j ψ, ∂ k ψ〉 = 〈∂ i ∂ j ψ, ∂ k ψ〉 + 〈∂ j ψ, ∂ i ∂ k ψ)〉
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