DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

wegen der Eigenschaften (2), (3) linear über dem Ring C ∞ (M). Nach der Charakterisierung
von Tensorfeldern aus Abschnitt 6.7 hängt daher der Wert (∇ X Y )(p)
nicht vom Vektorfeld X, sondern nur von seinem Wert X(p) an der Stelle p ab.
Man erhält so für jeden Punkt p ∈ M eine lineare Abbildung ∇Y : T p M → T p M
durch
(∇Y )X p := ∇ Xp Y := ( ∇ X Y ) (p).
Dabei ist X ∈ V ein beliebiges Vektorfeld mit X(p) = X p . Aufgefaßt als (1, 1)-
Tensorfeld, nennt man ∇Y die kovariante Ableitung von Y . Wir fixieren nun das
Vektorfeld X.
Lemma. Für p ∈ M hängt der Wert (∇ X Y )(p) = ∇ Xp Y nicht von Y , sondern
nur von der Einschränkung von Y auf das Bild einer beliebigen differenzierbaren
Kurve c : [0, ε) → M mit Tangentialvektor ċ(0) = X p ab.
Beweis. Zunächst zeigen wir wie Abschnitt 3.7, dass für jede offene Teilmenge
U ⊆ M die Einschränkung (∇ X Y )| U nur von der Einschränkung Y | U abhängt.
Seien dazu Y 1 , Y 2 ∈ V Vektorfelder mit Y 1 | U = Y 2 | U , und sei p ∈ U. Wir zeigen
(∇ X Y 1 )(p) = (∇ X Y 2 )(p). Sei dazu f ∈ C ∞ (M) eine Funktion mit f = 1 auf einer
Umgebung von p, deren Träger in U enthalten ist. Dann ist fY 1 = fY 2 ∈ V, also
∇ X (fY 1 ) = ∇ X (fY 2 ), und nach Eigenschaft (4) auch
(Xf)Y 1 + f∇ X Y 1 = (Xf)Y 2 + f∇ X Y 2 .
Mit (Xf)(p) = 0 und f(p) = 1 folgt daraus, wie behauptet,
(∇ X Y 1 )(p) = (∇ X Y 2 )(p).
Sei nun (ϕ, U) eine Karte an p mit Basisfeldern ∂/∂x i . Dann ist
(∇ X Y )| U = ∇ X (Y j ∂
∂x j )
= X(Y j ) ∂
∂x j + Y j ∂
∇ X
∂x j .
Die Behauptung des Lemmas folgt aus Abschnitt 4.4,
(X(Y j ))(p) = d dt∣ Y j (c(t)). QED
0
14.4. Christoffelsymbole. Die Christoffelsymbole oder Komponenten Γ k ij ∈
C ∞ (U) des Zusammenhanges ∇ bezüglich einer Karte (ϕ, U) mit Basisfeldern ∂/∂x i
sind definiert durch †
∇ ∂
∂x i
∂
∂x j = Γ ij k ∂
∂x k . (14.4.1)
† Die in Abschnitt 11.8 eingeführten Christoffelsymbole werden sich in 14.5 als Spezialfall
der hier definierten Größen erweisen.
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