DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

euklidische Bewegung heißt eigentlich, wenn die Determinante det A = 1 ist, wenn
also A ∈ SO(3) ist.
Lemma. Sei c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) biregulär, und sei F (x) = Ax + b eine euklidische
Bewegung. Dann gilt für Krümmung und Torsion der Kurve ˜c = F ◦ c auf [a, b]
˜κ(t) = κ(t)
˜τ(t) = det(A) τ(t) = ±τ(t) .
Beweis. Wir können annehmen, dass ||c ′ || = 1 ist. Dann gilt auch ||˜c ′ || = ||Ac ′ || = 1.
Außerdem ist ˜κ = ||˜c ′′ || = ||Ac ′′ || = ||c ′′ || = κ und
˜τ = 1˜κ 2 det(˜c′ , ˜c ′′ , ˜c ′′′ ) = 1 κ 2 det(Ac′ , Ac ′′ , Ac ′′′ )
= det(A) 1 κ 2 det(c′ , c ′′ , c ′′′ ) = det(A) τ. QED
9.4. Die Formeln von Frenet. Sei c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) eine bireguläre, nach der
Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Formeln von Frenet geben die Ableitungen
der Vektoren des Frenetschen Dreibeins als Linearkombination des Dreibeins selbst.
Zunächst ist e ′ 1 = c′′ = κe 2 . Um e ′ 2 zu berechnen, zerlegen wir
e ′ 2 = 〈e′ 2 , e 1〉e 1 + 〈e ′ 2 , e 2〉e 2 + 〈e ′ 2 , e 3〉e 3
und berechnen die auftretenden Komponenten. Es ist
〈e ′ 2 , e 1〉 = 〈e 2 , e 1 〉 ′ − 〈e 2 , e ′ 1 〉 = 0 − κ
〈e ′ 2, e 2 〉 = 1 2 〈e 2, e 2 〉 ′ = 0
〈e ′ 2, e 3 〉 = τ
und damit e ′ 2 = −κe 1 + τe 3 . Mit derselben Methode berechnen wir e ′ 3. Es gilt
e ′ 3 = 〈e ′ 3, e 1 〉e 1 + 〈e ′ 3, e 2 〉e 2 + 〈e ′ 3, e 3 〉e 3 ,
wobei 〈e ′ 3, e 1 〉 = −〈e 3 , e ′ 1〉 = 0 und 〈e ′ 3, e 2 〉 = −〈e 3 , e ′ 2〉 = −τ sowie 〈e ′ 3, e 3 〉 = 0.
Insgesamt erhalten wir damit die Frenetschen Formeln
e ′ 1 = κe 2
e ′ 2 = −κe 1 +τe 3
e ′ 3 = −τe 2
(9.4.1)
Bei gegebener Krümmung und Torsion stellen diese Formeln ein lineares System
gewöhnlicher Differentialgleichungen für die Komponentenfunktionen des Frenetschen
Dreibeins einer Kurve dar. Dieser Umstand hat zur Folge, dass eine bireguläre
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