DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

7.9. Lieableitung. Gleichung (7.7.1) liefert einen Deutung der Lieklammer [X, Y ]
als Ableitung von Y nach X, oder genauer längs des Flusses von X,
(T φ −t )Y φt(p) − Y p
[X, Y ](p) = lim
.
t→0 t
In ähnlicher Weise gilt für Funktionen f ∈ C ∞ (M)
f(φ t (p)) − f(p)
(Xf)(p) = lim
.
t→0 t
Diese Beziehungen verallgemeinern sich zum Begriff der Lieableitung von Tensorfeldern
längs eines Vektorfeldes X, auf den wir nun kurz eingehen.
Definition. Für einen Diffeomorphismus ψ : M → M und ein (r, s)–Tensorfeld A
auf M definieren wir den Pullback ψ ∗ A von A unter ψ, ein (r, s)–Tensorfeld, durch
(ψ ∗ A) p (X 1 , . . . , X r , α 1 , . . . , α s )
= A ψ(p)
(
(Tp ψ)X 1 , . . . , (T p ψ)X r , α 1 ◦(T p ψ) −1 , . . . , α s ◦(T p ψ) −1) ,
wobei in dieser Formel X j ∈ T p M und α k ∈ Tp ∗ M sind. Insbesondere sind also
die α k ◦(T p ψ) −1 Elemente des Kotangentialraumes T ψ(p) M. Das Tensorfeld A heißt
invariant unter dem Diffeomorphismus ψ, wenn ψ ∗ A ist.
Definition. Seien X ein differenzierbares Vektorfeld auf M mit Fluss φ t . Die
Lieableitung des (r, s)–Tensorfeldes A längs X ist ein (r, s)–Tensorfeld L X A, definiert
als
(φ ∗ t A)(p) − A(p)
(L X A)(p) = lim
. (7.9.1)
t→0 t
Zu beachten ist, dass in den Wert der Lieableitung (L X A)(p) nicht nur der Wert
von X an der Stelle p eingeht, da der Fluss von X benötigt wird. Eine explizite
Formel für L X A in lokalen Koordinaten ist Gegenstand von Aufgabe 9. Mit Hilfe der
Lieableitung lässt sich feststellen, ob ein Tensorfeld unter dem Fluss eines gegebenen
Vektorfeldes invariant bleibt. Der Beweis des folgenden Kriteriums erfolgt wie bei
der entsprechenden Aussage für Vektorfelder im Satz des Abschnitts 7.7.
Satz. Ein differenzierbares Tensorfeld A ist invariant unter dem Fluss φ t von X,
d.h. es gilt φ ∗ t A = A für alle t, genau dann, wenn die Lieableitung L XA = 0 ist.
Speziell für (0, 0)–Tensorfelder folgt dieser Satz unmittelbar aus Gleichung (7.5.4):
Eine Funktion f ∈ C ∞ (M) ist konstant auf jeder Bahn von X genau dann, wenn
Xf = 0 ist. Funktionen mit Xf = 0 werden in älterer Literatur auch als “Integrale”
des Flusses bezeichnet. In diesem Fall verlaufen die Bahnen von X also in den
Niveaumengen von f, und daher kann die Kenntnis von “Integralen” die Berechnung
der Bahnen erleichtern.
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