DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Lemma 3. Jedes linksinvariante Vektorfeld X ∈ V(G) ist vollständig.
Beweis. Ist γ eine Integralkurve von X, dann auch jede Kurve aγ = L a ◦ γ für
a ∈ G, denn
(aγ)˙(t) = (T L a ) ˙γ(t) = (T L a )X(γ(t)) = X(aγ(t)).
Ist daher ein Intervall (−ε, ε) im Definitionsbereich der Integralkurve γ mit γ(0) = e
enthalten, dann ist dieses Intervall im Definitionsbereich jeder Integralkurve von X
enthalten. Der Definitionsbereich des Flusses φ von X enthält also die Menge
(−ε, ε) × G. Nach Aufgabe 4(a) in Kapitel 7 ist X vollständig. QED
Als Folgerung aus Lemma 2 und 3 ergibt sich, dass der Zusammenhang ∇ 0 im Sinne
von Abschnitt 7.4 vollständig ist. Seine Exponentialabbildung exp : T G → G ist
also auf ganz T G definiert.
Definitionen. Die Exponentialabbildung der Liegruppe G, exp : T e G → G, ist die
Einschränkung der Exponentialabbildung von ∇ 0 auf den Tangentialraum T e G im
neutralen Element. Eine Einparameteruntergruppe von G ist ein differenzierbarer
Gruppenhomomorphismus (R, +) → G, also eine differenzierbare Kurve c : R → G
mit den Eigenschaften c(s + t) = c(s)c(t) und c(−t) = c(t) −1 .
Satz. Sei c : R → G eine differenzierbare Kurve mit c(0) = e. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent.
(a) c ist eine Einparameteruntergruppe von G.
(b) c ist Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes X.
(c) Es gilt c(t) = exp(tv) für einen Vektor v ∈ T e G.
Beweis. Die Äquivalenz von (b) und (c) ergibt sich aus Lemma 2, weil die Geodätischen
des Zusammenhangs ∇ 0 mit c(0) = e genau die Kurven der Gestalt c(t) =
exp(tv) sind. Sei nun c ein Gruppenhomomorphismus wie in (a). Bezeichnet X das
linksinvariante Vektorfeld mit X(e) = ċ(0), dann gilt
ċ(s) = d dt∣ c(s + t) = d 0
dt∣ c(s)c(t)
0
= (T L c(s) )ċ(0) = (T L c(s) )X(e)
= X(c(s)).
Also ist c Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes. Ist umgekehrt c Integralkurve
eines linksinvarianten Vektorfeldes X, dann sind sowohl t ↦→ c(s + t) als
auch t ↦→ c(s)c(t) Integralkurven von X, die für t = 0 übereinstimmen. Also gilt
c(s + t) = c(s)c(t), und c ist ein Gruppenhomomorphismus. QED
Beispiel. Sei G = GL(n, R) die Gruppe der invertierbaren n × n–Matrizen, und
sei e = I die Einheitsmatrix. Dann ist G eine offene Teilmenge des Vektorraumes
177