DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

die Divergenz eines Vektorfeldes X, dann gilt offenbar
∆f = −f ,k k = −f ,
k k = −div gradf. (20.2.5)
Wir besprechen abschließend das Skalarprodukt von Tensoren auf einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit. Die Metrik g(p) induziert ein Skalarprodukt auf dem Raum
T s
r (T pM) = ⊗ r
T
∗
p M ⊗ ⊗ s
Tp M,
welches durch folgende Eigenschaft eindeutig bestimmt ist: Ist e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis
von T p M und ist e ∗1 , . . . , e ∗n die duale Basis von Tp ∗ M, dann bilden
die Tensoren
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e i1 ⊗ · · · ⊗ e is
eine Orthonormalbasis von T s
r (M). Man sieht leicht, dass das Skalarprodukt zweier
(r, s)–Tensoren A und B durch ihre Komponenten bezüglich lokaler Koordinaten
gegeben ist durch
〈A, B〉 = A i1···i r
j 1···j s
B i1···ir j 1···j s
= A i1···i r
j 1···j s
B k1···k r
l 1···l s
g i1k1 · · · g irkr g j1l 1
· · · g jsl s
.
(20.2.6)
Bezüglich dieser Skalarprodukte ist das Heben und Senken von Indizes isometrisch,
erhält also die Norm eines Tensors. Insbesondere gilt für Differential und Gradient
einer Funktion ‖df‖ = ‖gradf‖ = f ,i f , i .
20.3. Riccitensor und Skalarkrümmung. Sei R der Krümmungstensor von
(M, g). Dann heißt das aus R durch Kontraktion über den ersten unteren und den
oberen Index entstehende symmetrische (2, 0)–Tensorfeld Ric = C1 1 R der Riccitensor
der Riemannschen Mannigfaltigkeit. Es gilt also
Ric(X, Y ) = Spur(R(·, X)Y ), (20.3.1)
und in lokalen Koordinaten ist Ric = R ij dx i ⊗ dx j mit den Komponenten
R ij = R kij k . (20.3.2)
Man sieht mit Hilfe der Krümmungsidentitäten aus 20.1 leicht ein, dass die anderen
möglichen Kontraktionen von R entweder Null oder bis auf ein Vorzeichen ebenfalls
Ric ergeben. Durch Spurbildung bezüglich der Metrik g erhält man aus Ric eine
Funktion
scal = Spur g Ric = g ij R ij . (20.3.3)
Dabei sind g ij wie in 20.2 die Koeffizienten der zu g ij inversen Matrix. Die Funktion
scal heißt die Skalarkrümmung von (M, g).
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