DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Allgemeinere Teilmengen U überdeckt man durch höchstens abzählbar viele parametrisierbare
U µ und verwendet den Satz über monotone Konvergenz.
Zum Beweis von (12.5.2) beachten wir zunächst, dass wegen K(p) ≠ 0 die Ableitung
T p n : T p M → T n(p) S 2 invertierbar ist. Nach dem Satz über inverse Funktionen ist
daher die Einschränkung n| B(p,ε) für hinreichend kleine Radien ε ein Diffeomorphismus
von B(p, ε) auf n(B(p, ε)). Gleichung (12.5.1) liefert dann
min |K(q)| vol B(p, ε) ≤ |K| dV M = vol
q∈B(p,ε)
∫B(p,ε)
( n(B(p, ε)) )
≤ max |K(q)| vol B(p, ε).
q∈B(p,ε)
Division durch vol B(p, ε) ergibt die Behauptung. QED
Korollar. Sei M eine kompakte orientierte Fläche im R 3 , deren Gaußabbildung
n : M → S 2 ein Diffeomorphismus ist. Dann gilt
∫
M
K dV = 4π.
Beweis. Da T p n für jeden Punkt p ∈ M invertierbar ist, gilt K ≠ 0 überall auf M.
Und weil M zusammenhängend ist, kann K das Vorzeichen nicht wechseln. Nun
hat jede kompakte Fläche im R 3 Punkte positiver Gaußkrümmung (Aufgabe 3).
Folglich ist K > 0 auf M. Das Korollar folgt aus (12.5.1), da die Standardsphäre
den Flächeninhalt 4π hat. QED
Bemerkungen. (a) Kompakte zusammenhängende Flächen im R 3 , deren Gaußkrümmung
K überall positiv ist, nennt man Eiflächen. Unser Beweis zeigt, dass
Flächen, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen, Eiflächen sind. Umgekehrt
kann man auch zeigen, dass jede Eifläche orientierbar und ihre Gaußabbildung n
ein Diffeomorphismus ist (Satz von Hadamard, siehe Kapitel 13).
(b) Das Korollar ist ein einfacher Spezialfall des Satzes von Gauß–Bonnet, auf den
wir später eingehen werden.
(c) Für eine orientierte Fläche M ⊆ R 3 sei M 0 = {p ∈ M | K(p) = 0}. In den
Punkten p ∈ M 0 ist T p n nicht surjektiv. Nach einem Satz von Sard (Lang, S.450)
folgt daraus, dass das Bild n(M 0 ) ⊆ S 2 das Maß Null hat.
12.6. Geometrische Deutung der mittleren Krümmung. Sei M ⊆ R 3 eine
orientierte Fläche, und sei ϱ ∈ C ∞ 0 (M) eine Funktion mit kompaktem Träger. Dann
ist für hinreichend kleine ε > 0
M ε ϱ
:= { p + ε ϱ(p) n(p) | p ∈ M }
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