DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

∇ t V = 0 und ∇ s ∂ s H(0, t) = 0
∣
d 2 ∣∣∣0
ds 2 L(c s ) = − 1
‖ċ‖
= −‖ċ‖
∫ l
0
∫ l
Also ist L(c s ) < L(c 0 ) für kleine |s|. Andererseits ist
und damit
c s (l) = exp(sV (l))
0
= exp(s(T p f)X)
= f(exp(sX))
= f(c s (0)),
〈R(V, ċ)ċ, V 〉 dt
K(V, ċ) dt < 0.
d( c s (0), f(c s (0)) ) = L(c s ) < L(c 0 ) = d(p, f(p))
im Widerspruch zur Wahl von p. QED
22.9. Orientierungsüberlagerung und Satz von Synge. Sei M eine zusammenhängende
differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir betrachten die Menge ¯M aller
Orientierungen (siehe 11.1) aller Tangentialräume an M, also
¯M = { (p, O p ) | p ∈ M, O p ist eine Orientierung von T p M }.
Sei π : ¯M → M die Abbildung π(p, Op ) = p. Dann existieren, wie man leicht
einsieht, auf ¯M genau eine Topologie und differenzierbare Struktur dergestalt, dass
π eine zweiblättrige Überlagerung wird. Diese Überlagerung π : ¯M → M heißt
die Orientierungsüberlagerung von M. Durch die Festlegung, dass für alle ¯p =
(p, O p ) ∈ ¯M die Ableitung T¯p π : T¯p ¯M → Tp M bezüglich der Orientierung O p von
T p M orientierungserhaltend ist, wird ¯M zu einer orientierten Mannigfaltigkeit. Man
zieht also die Orientierung O p von T p M mit dem Vektorraumisomorphismus T¯p π
zu einer Orientierung von T¯p ¯M zurück. Bezeichnet O
′
p die zu O p entgegengesetzte
Orientierung von T p M, dann ist die durch flip(p, O p ) = (p, O ′ p) definierte Abbildung
flip : ¯M → ¯M offenbar ein orientierungsumkehrender Diffeomorphismus von ¯M.
Lemma. Die Orientierungsüberlagerung ¯M einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit
M ist genau dann zusammenhängend, wenn M nicht orientierbar ist. Insbesondere
ist jede einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit orientierbar.
Beweis. M ist genau dann nicht orientierbar, wenn es zu jedem Punkt p ∈ M
eine orientierungsumkehrende Schleife c an p gibt, genauer: eine stetige Kurve
¯c : [0, 1] → ¯M,
¯c(t) = (c(t), O c(t) )
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