DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und damit
d 2
∫ b
ds 2 L(c 1 1
s) = −
‖∂ t H‖ 2 ‖∂ t H‖ 〈∇ s∂ t H, ∂ t H〉 2 dt
+
+
a
∫ b
a
∫ b
a
1
‖∂ t H‖ 〈∇ s∇ s ∂ t H, ∂ t H〉 dt
1
‖∂ t H‖ 〈∇ s∂ t H, ∇ s ∂ t H〉 dt.
Im ersten und dritten Integral verwenden wir nun die Beziehung ∇ s ∂ t H = ∇ t ∂ s H.
Den zweiten Integranden schreiben wir wie folgt:
〈∇ s ∇ s ∂ t H, ∂ t H〉 = 〈∇ s ∇ t ∂ s H, ∂ t H〉
= 〈∇ t ∇ s ∂ s H, ∂ t H〉 + 〈R(∂ s H, ∂ t H)∂ s H, ∂ t H〉
= ∂ t 〈∇ s ∂ s H, ∂ t H〉 − 〈∇ s ∂ s H, ∇ t ∂ t H〉
+ 〈R(∂ s H, ∂ t H)∂ s H, ∂ t H〉.
Speziell für s = 0 ist (∂ s H)(0, t) = V (t) und (∂ t H)(0, t) = ċ(t), und da ‖ċ‖ konstant
ist, ergibt sich
∣
d 2 ∣∣∣0
ds 2 L(c s ) = − 1 ∫ b
‖ċ‖ 3 〈∇ t V, ċ〉 2 dt
a
+ 1
‖ċ‖ 〈∇ s∂ s H, ċ〉 ∣ (0,b)
(0,a)
− 1
‖ċ‖
+ 1
‖ċ‖
+ 1
‖ċ‖
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
〈∇ s ∂ s H(0, t), ∇ t ċ〉 dt
〈R(V, ċ)V, ċ〉 dt
〈∇ t V, ∇ t V 〉 dt.
(21.1.3)
Bezeichnet man die zum Tangentialvektor ċ senkrechte Komponente von V mit V ⊥ ,
also
〈
V ⊥ ċ
〉 ċ
= V − V,
‖ċ‖ ‖ċ‖ , (21.1.4)
dann ist wegen der Krümmungsidentitäten (a) und (b) aus 20.1
〈R(V, ċ)V, ċ〉 = 〈R(V ⊥ , ċ)V ⊥ , ċ〉.
Wir setzen nun zusätzlich voraus, dass c eine Geodätische ist. Dann gilt ∇ t ċ = 0,
und (∇ t V ) ⊥ = ∇ t (V ⊥ ) =: ∇ t V ⊥ . Daraus folgt
〈∇ t V, ∇ t V 〉 − 1
‖ċ‖ 2 〈∇ tV, ċ〉 2 = 〈∇ t V ⊥ , ∇ t V ⊥ 〉.
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