DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Lemma. Sei A Tensorfeld auf M. Dann gilt für die kovariante Ableitung ∇A = 0
genau dann, wenn
∇
dt (A◦c) = 0
ist für alle differenzierbaren Kurven c in M.
Die kovariante Ableitung verschwindet also genau dann, wenn A längs jeder Kurve
parallel ist, oder anders gesagt: wenn A unter Parallelverschiebung “invariant” ist.
Aus diesem Grund bezeichnet man Tensorfelder mit ∇A = 0 auch als parallele
Tensorfelder. Das Lemma folgt unmittelbar aus der Gleichung
( ∇
dt (A◦c) )
(t) = ∇ċ(t) A.
Bemerkung. Die Parallelverschiebung von Tensoren längs einer Kurve c : [a, b] →
M läßt sich auch wie folgt auffassen: Man hat zunächst einen Vektorraumisomorphismus
Pb,a c : T c(a)M → T c(b) M zwischen den Tangentialräumen. Nun induziert
jeder Isomorphismus zwischen Vektorräumen auf kanonische Weise einen
Isomorphismus zwischen den entsprechenden (r, s)–Tensorräumen. Die Parallelverschiebung
von Tensoren ist der durch Pb,a c induzierte Isomorphismus.
15.5. Proposition. Seien ∇ ein Zusammenhang und g eine Riemannsche Metrik
auf M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(a) ∇g = 0
(b) Für jede differenzierbare Kurve c : I → M und alle Vektorfelder X, Y längs c
ist
d
( ∇X
) (
dt g(X, Y ) = g dt , Y + g X, ∇Y )
. (15.5.1)
dt
(c) Für jede differenzierbare Kurve c : I → M ist die Parallelverschiebung Pb,a c :
T c(a) M → T c(b) M eine lineare Isometrie.
Dabei ist eine lineare Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen ein Vektorraumisomorphismus
φ, welcher Skalarprodukte erhält: 〈φX, φY 〉 = 〈X, Y 〉.
Beweis. Für Vektorfelder X und Y längs einer Kurve c gilt
d
∇(g◦c)
( ∇X
) (
g(X, Y ) = (X, Y ) + g
dt dt
dt , Y + g X, ∇Y )
.
dt
Die Äquivalenz von (a) mit (b) folgt daher aus
∇(g◦c)
(t) = ∇ċ(t) g.
dt
Wird (b) vorausgesetzt, dann ist für parallele Vektorfelder X, Y längs c die Funktion
t ↦→ g(X, Y )(t) konstant. Daher ist
g ( P c b,a X(a), P c b,a Y (a)) = g ( (X(b), Y (b) ) = g ( (X(a), Y (a) ) ,
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