DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

c(0) = p und dc/dt(0) = v. Nach Verkleinerung von ε kann man annehmen, dass
c((−ε, ε)) ⊆ ψ(W ) gilt. Dann ist ψ −1 ◦ c ∈ C ∞ ((−ε, ε), W ). Dies folgt aus der
Kettenregel 1.11, da wegen 2.4 ψ −1 eine Karte, also C ∞ –differenzierbar ist. Damit
ist
v = dc
dt (0) = d dt∣ (ψ ◦ ψ −1 ◦ c) = Dψ(w) d 0
dt ∣ (ψ −1 ◦ c).
0
Umgekehrt sei nun ξ ∈ R n gegeben. Dann gilt für die Kurve c(t) = ψ(w + tξ)
und daher (p, Dψ(w)ξ) ∈ T p M. QED
Dψ(w)ξ = d dt∣ ψ(w + tξ) = dc
0
dt (0),
3.2. Definition (geometrische Definition der Tangentialräume). Sei M eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit, und seien c i = (−ε i , ε i ) → M (ε i > 0, i = 1, 2) zwei
differenzierbare Kurven mit c 1 (0) = c 2 (0) = p ∈ M. Die Kurven c 1 und c 2 heißen
äquivalent (Schreibweise: c 1 ∼ c 2 ), wenn eine Karte (ϕ, U) mit p ∈ U existiert, so
dass
d(ϕ ◦ c 1 )
dt
(0) = d(ϕ ◦ c 2)
(0). (∗)
dt
Wir werden gleich sehen, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der C ∞ -
Kurven c mit c(0) = p ist. Jede Äquivalenzklasse [c] heißt ein (geometrischer)
Tangentialvektor an M im Punkt p. Die Menge Tp
geo M aller Tangentialvektoren in
p heißt der (geometrische) Tangentialraum von M in p.
Bemerkung. Wenn die Bedingung (∗) für eine Karte (ϕ, U) an p gilt, dann für
jede. Ist nämlich (ϕ 1 , U 1 ) eine weitere Karte an p, dann gilt
d(ϕ 1 ◦ c 1 )
dt
(0) = d dt∣ (ϕ 1 ◦ ϕ −1 ◦ ϕ ◦ c 1 )
0
= D(ϕ 1 ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) d(ϕ ◦ c 1)
(0)
dt
= D(ϕ 1 ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) d(ϕ ◦ c 2)
(0)
dt
= d(ϕ 1 ◦ c 2 )
(0).
dt
Aus dieser Bemerkung folgt unmittelbar, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
3.3. Vektorraumstruktur auf Tp
geo M. In den Bezeichnungen von 3.2 sei nun
(ϕ, U) eine Karte an p. Dann ist die Abbildung
A : T geo
p M → R n , A([c]) :=
18
d(ϕ ◦ c)
(0)
dt