DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beispiel. Sei M eine kompakte zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann existiert auf M × S 1 keine Riemannsche Metrik mit positiver Riccikrümmung.
Denn die Fundamentalgruppe π 1 (M × S 1 ) ∼ = π 1 (M) × π 1 (S 1 ) enthält
π 1 (S 1 ) ∼ = Z, ist also unendlich. Dagegen ist seit 1992 bekannt † , dass auf jeder
differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 3 vollständige Riemannsche
Metriken mit negativer Riccikrümmung existieren.
Korollar (Satz von Weyl). Sei G eine kompakte zusammenhängende Liegruppe,
deren Liealgebra triviales Zentrum C(G) = {0} hat. Dann ist die Fundamentalgruppe
von G endlich.
Beweis. Nach dem Satz in 21.3 existiert auf G eine biinvariante Riemannsche
Metrik. Das Korollar in 21.4 besagt, dass jede solche Metrik auf G positive Riccikrümmung
hat. Die Behauptung folgt nun aus dem Satz. QED
22.7. Ein Kriterium für Überlagerungen. Um zu schließen, dass ein lokaler
Diffeomorphismus eine Überlagerung ist, sind zusätzliche Voraussetzungen erforderlich.
Für unsere Zwecke ist das folgende Kriterium nützlich.
Satz 1. Seien ¯M ≠ ∅ und M differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Zusammenhängen
¯∇ und ∇. Die Mannigfaltigkeit M sei zusammenhängend. Sei π :
¯M → M ein lokaler Diffeomorphismus, der Geodätische in Geodätische abbildet.
Ist ¯∇ vollständig, dann ist π eine Überlagerung.
Die Voraussetzung über π ist so zu verstehen: Ist ¯c eine Geodätische von ¯∇, dann
ist π ◦ ¯c Geodätische von ∇. Diese Bedingung ist offensichtlich gleichbedeutend mit
π ◦ exp = exp ◦ T π, (22.6.1)
wenn exp die Exponentialabbildungen von ∇ und ¯∇ bezeichnet.
Beweis. Wir beweisen zunächst, dass π surjektiv ist. Zu diesem Zweck zeigen wir,
dass das Bild π( ¯M) eine nichtleere, offene und abgeschlossene Teilmenge von M ist.
Daraus folgt dann π( ¯M) = M, also die Surjektivität. Nach dem Satz über inverse
Funktionen 4.2(c) ist das Bild offen, da π ein lokaler Diffeomorphismus ist. Zum
Nachweis der Abgeschlossenheit sei π(¯p k ) eine Folge in π( ¯M) mit Grenzwert p. Wir
zeigen, dass dann auch p ∈ π( ¯M) ist. Für jeden hinreichend großen Index k existiert
eine Geodätische c : [0, 1] → M mit c(0) = π(¯p k ) und c(1) = p. Sei ¯c : [0, 1] → ¯M
die Geodätische mit
˙¯c(0) = (T¯pk π) −1 ċ(0).
Die Vollständigkeit von ¯∇ stellt sicher, dass ¯c auf ganz [0, 1] definiert ist. Dann
gilt π ◦ ¯c = c, insbesondere π(¯c(1)) = c(1) = p und damit p ∈ π( ¯M). Damit ist die
Surjektivität von π bewiesen.
† J. Lohkamp, Metrics of negative Ricci curvature, Ann. of Math. 140(1994), 655–
683.
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