DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und folglich
(
lim
t→0
wie behauptet. QED
Y p − (T φ t )Y ) ( φ−t(p)
Yp f − Y φ−t(p)f − t Y )
φ−t(p)g t
f = lim
t
t→0 t
(Y f)(p) − (Y f)(φ −t (p))
= lim
− Y p g 0
t→0 t
= d dt∣ (Y f)(φ t (p)) − Y p g 0
0
= X p (Y f) − Y p (Xf)
= [X, Y ](p)f
Definition. Sei X ∈ V(M), und sei ψ : M → N ein Diffeomorphismus. Dann ist
das Vektorfeld ψ ∗ X ∈ V(N) definiert durch
ψ ∗ X = (T ψ) ◦ X ◦ ψ −1 .
Mit dieser Definition lautet Gleichung (7.7.1)
[X, Y ] = lim
t→0
Y − (φ t ) ∗ Y
t
(7.7.2)
wobei der Limes punktweise zu verstehen ist. Ein Vektorfeld X heißt invariant
unter ψ ∈ Diff(M), wenn ψ ∗ X = X ist, wenn also gilt
(T ψ) ◦ X = X ◦ ψ .
Lemma 3. Ist φ t der Fluss von X, dann ist ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 der Fluss von ψ ∗ X.
Insbesondere gilt: X ist invariant unter ψ genau dann, wenn ψ ◦ φ t = φ t ◦ ψ ist.
Beweis. Sei p ∈ M. Da φ t (p) eine Flusslinie von X ist, gilt für alle p ∈ M in der
Notation von (7.5.3)
d
dt φ t(p) = X(φ t (p)) .
Damit ergibt sich
d
dt (ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 )(p) = (T ψ) d dt (φ t(ψ −1 (p)))
= (T ψ)X(φ t (ψ −1 (p)))
= ((T ψ) ◦ X ◦ ψ −1 )(ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 (p))
= (ψ ∗ X)(ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 (p)) .
Folglich ist die Kurve t → ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 (p) die Flusslinie des Vektorfeldes ψ ∗ X durch
den Punkt p. QED
62