DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Eine Abbildung φ zwischen metrischen Räumen (M, d) und (M, d ′ ) heißt abstandserhaltend,
wenn für alle p, q ∈ M gilt
d ′ (φ(p), φ(q)) = d(p, q) .
Satz. Seien (M, g) und (M ′ , g ′ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, d und d ′ ihre
Abstandsfunktionen, und sei φ : M → M ′ eine Abbildung.
(a) Ist φ eine Isometrie, dann ist φ abstandserhaltend.
(b) Ist umgekehrt φ bijektiv und abstandserhaltend, dann ist φ ∈ C ∞ (M, M ′ ) und
eine Isometrie.
Abstandserhaltende Bijektionen zwischen metrischen Räumen nennt man oft ebenfalls
Isometrien (metrischer Räume). Der Satz besagt dann, dass Isometrien Riemannscher
Mannigfaltigkeiten dasselbe sind wie Isometrien der ihnen entsprechenden
metrischen Räume. Der Beweis der Aussage (a) ergibt sich unmittelbar aus
Bemerkung (c) und der Definition der Abstandsfunktionen. Der schwierigere Beweis
der Umkehrung findet sich in Kobayashi–Nomizu, “Foundations of Differential
Geometry I”, S. 169–172. Der Beweis benutzt den Begriff der Geodätischen, auf
den wir erst später eingehen werden.
10.9. Beispiele. (a) Sei φ : R 3 → R 3 eine euklidische Bewegung, also φ(x) =
Ax + b mit einer orthogonalen Matrix A. Dann ist φ eine Isometrie von (R 3 , g R 3).
Das ergibt sich aus Teil (b) des Satzes in 10.8, oder durch direktes Nachrechnen:
Mit den Standardbasisfeldern ∂/∂x i des R 3 ist
( ∂
φ ∗ (g R 3)
∂x i , ∂
) (
∂x k = g R 3 (T φ) ∂ ∂
)
, (T φ)
∂xi ∂x k
( ∂φ
j
∂
= g R 3
∂x i ∂x j , ∂φl ∂
)
∂x k ∂x l
= ∂φj ∂φ l ( ∂
∂x i ∂x k g R 3 ∂x j , ∂
)
∂x l
= ∑ j
= δ ik
= g R 3
∂φ j
∂x i ∂φ j
∂x k
( ∂
∂x i , ∂
)
∂x k ,
weil (∂φ i /∂x j ) = A eine orthogonale Matrix ist. Als Folgerung ergibt sich: Sind
M und N Flächen im R 3 mit ersten Fundamentalformen g M und g N , und gilt
φ(M) = N, dann ist die Einschränkung φ| M eine Isometrie von (M, g M ) auf (N, g N ).
Nennt man Flächen, die sich durch eine euklidische Bewegung ineinander überführen
lassen, kongruent, dann gilt also: Kongruente Flächen sind isometrisch.
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