DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

20.6. Der Satz von Schur.
Lemma. Sei p ∈ M. Wenn alle Ebenen E ≤ T p M im Punkt p dieselbe Schnittkrümmung
K(E) =: κ(p) haben, dann gilt für alle X, Y, Z ∈ T p M
R(X, Y )Z = κ(p) ( 〈Y, Z〉X − 〈X, Z〉Y ) . (20.6.1)
Gleichung (20.6.1) gilt insbesondere für alle zweidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
und für Räume konstanter (Schnitt-)Krümmung K. Speziell für Basisfelder
X = ∂ i , Y = ∂ j und Z = ∂ k einer Karte ergibt sich daraus
R ijk l = κ(g jk δ i l − g ik δ j l ). (20.6.2)
Beweis. Wir definieren eine trilineare Abbildung S : T p M × T p M × T p M → T p M
durch die rechte Seite von (20.6.1), also durch
S(X, Y, Z) = κ(p)(〈Y, Z〉X − 〈X, Z〉Y ).
Dann erfüllt S die Krümmungsidentitäten (a)–(d) aus Abschnitt 20.1, und man
verifiziert, dass für alle X, Y ∈ T p M gilt
〈R(X, Y )Y, X〉 = 〈S(X, Y, Y ), X〉.
Der Beweis der Proposition in 20.5, in dem nur die genannten Krümmungsidentitäten
verwendet wurden, zeigt nun, dass für alle W ∈ T p M gilt
Die Behauptung folgt. QED
〈R(X, Y )Z, W 〉 = 〈S(X, Y, Z), W 〉.
Satz von Schur. Sei M zusammenhängend und von der Dimension n ≥ 3. Wenn
es eine Funktion κ auf M gibt mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p ∈ M
alle Ebenen E ≤ T p M dieselbe Schnittkrümmung K(E) = κ(p) haben, dann ist κ
konstant. Also ist (M, g) ein Raum konstanter Krümmung.
Hängt also die Schnittkrümmung K(E) nur vom Fußpunkt p von E ab, dann ist sie
überhaupt konstant. Die Aussage ist offensichtlich falsch für n = 2.
Beweis. Wegen des Lemmas gilt für den Riccitensor
R jk = R ijk
i
= κ(g jk δ i i − g ik δ j i )
= κ(ng jk − g jk )
= κ (n − 1)g jk ,
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