DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Nun ist c s (0) = exp(sX) und
c s (l) = exp(s(T p f)X) = f(exp(sX)) = f(c s (0)),
da f eine Isometrie ist. Da die Verschiebungsfunktion ein lokales Minimum an p
hat, folgt für alle s aus einer Umgebung von 0
L(c s ) ≥ d(c s (0), c s (l))
= d(c s (0), f(c s (0))
≥ d(p, f(p))
= L(c 0 ).
Daher ist die Ableitung d/ds| 0 L(c s ) = 0, also 〈V (l), ċ(l)〉 = 0, und die Behauptung
(∗) ist bewiesen.
Da T p f eine lineare Isometrie ist, folgt aus (∗) zunächst (T p f)ċ(0) = ± ċ(l), und
daraus f(c(t)) = c(l ± t), da sowohl f(c(t)) als auch c(l ± t) Geodätische mit demselben
Tangentialvektor an t = 0 sind. Wäre f(c(t)) = c(l − t), dann hätte man
d(c(t), f(c(t))) = ‖ċ‖ · (l − 2t), und p wäre kein lokales Minimum der Verschiebungsfunktion,
im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist f(c(t)) = c(l + t). QED
Wir kommen nun zum Beweis des Fixpunktsatzes. Da (M n , g) kompakt ist, nimmt
die Verschiebungsfunktion p ↦→ d(p, f(p)) ihr Minimum in einem Punkt p an. Wir
führen die Annahme p ≠ f(p) zu einem Widerspruch. Sei c : [0, l] → M eine kürzeste
Geodätische von p nach f(p), und sei A : T p M → T p M die lineare Isometrie
A := P0,l c ◦ T pf, wobei P0,l c die Parallelverschiebung längs c bezeichnet. Wegen
des Lemmas gilt A ċ(0) = ċ(0), also auch A(ċ(0) ⊥ ) ⊆ ċ(0) ⊥ . Nun verwenden wir
folgende
Bemerkung. Sei A : V → V eine orthogonale Abbildung eines m–dimensionalen
euklidischen Vektorraumes V . Ist m ungerade und die Determinante det(A) > 0,
oder ist m gerade und det(A) < 0, dann existiert ein Vektor X ∈ V \{0} mit
AX = X.
Der Beweis ergibt sich leicht aus der Normalform orthogonaler Abbildungen: V ist
eine orthogonale direkte Summe von zweidimensionalen Unterräumen, auf denen A
eine Drehung um einen Winkel /∈ Zπ ist, und von Eigenräumen zu Eigenwerten 1
und −1. Die Voraussetzungen sind so beschaffen, dass der Eigenwert 1 vorkommen
muss.
Die Bemerkung, angewandt auf V = ċ(0) ⊥ , impliziert, dass ein Einheitsvektor
X ∈ ċ(0) ⊥ existiert mit AX = X, also mit (T p f)X = Pl,0 c X. Sei
V (t) = P c t,0X ∈ T c(t) M.
Dann ist V ein paralleles Vektorfeld längs c mit V (0) = X und V (l) = (T p f)X. Die
zweite Variationsformel, angewandt auf c s (t) = H(s, t) = exp(sV (t)), ergibt wegen
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