DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

mit der in 15.2 eingeführten Notation. Weiter bezeichne R s,t die lineare Abbildung
( ∂H ∂H
)
R s,t = P s,t ◦ R (s, t),
∂t ∂s (s, t) ◦ (P s,t ) −1
von T H(s,b) M in sich. Sei X ein Vektorfeld längs H mit ∇X/∂t = 0 auf [0, 1] × [a, b]
und mit (∇X/∂s)(s, a) = 0 für 0 ≤ s ≤ 1.
(a) Zeigen Sie, dass gilt
∫
∇X
b
∂s (s, b) = R s,t dt X(s, b).
a
(∗)
(b) Verwenden Sie diese Gleichung, um einen Beweis der Implikation (a)⇒(b) in
Satz 16.5 zu geben.
Anleitung zu (a): Das Integral ∫ b
a R s,t dt ist ein Vektorraumendomorphismus von
T H(s,b) M, der auf den Vektor X(s, b) angewandt wird. Zeigen Sie mit Hilfe von
(16.3.1) zunächst, dass gilt
d
(
∇X
) ( ∇
P s,t
dt ∂s (s, t) ∇X
)
= P s,t
∂t ∂s (s, t) = R s,t X(s, b) . (∗∗)
5. ∗ Homotopie. Zeigen Sie, dass stückweise differenzierbare Homotopie eine
Äquivalenzrelation auf der Menge der stückweise differenzierbaren Kurven c : [a, b]
→ M ist. Zeigen Sie dann, dass dasselbe für die differenzierbare Homotopie differenzierbarer
Kurven gilt. Zeigen Sie schließlich, dass differenzierbare Kurven, die
stetig homotop sind, auch differenzierbar homotop sind.
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