DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und damit
g(∇ X Y, Z) = 1 (
Xg(Y, Z) + Y g(X, Z) − Zg(X, Y )
2
)
+ g([X, Y ], Z) − g([Y, Z], X) + g([Z, X], Y ) .
(14.9.2)
Da Z ∈ V(M) beliebig ist und g nicht ausgeartet, ist ∇ X Y durch diese Gleichung
eindeutig bestimmt. Um die Existenz von ∇ zu beweisen, definiert man ∇ X Y
als das eindeutig bestimmte Vektorfeld, welches für alle Z ∈ V(M) die Gleichung
(14.9.2) erfüllt und rechnet dann nach, dass ∇ ein Zusammenhang ist mit T = 0 und
∇g = 0. Zum Beweis der Torsionsfreiheit etwa zeigt man, dass g(T (X, Y ), Z) = 0
ist für alle X, Y, Z ∈ V(M). QED
Setzt man in (14.9.2) speziell Basisfelder einer Karte ein, und zwar X = ∂ i , Y = ∂ j ,
Z = ∂ l ein, dann folgt
g ml Γ ij m = g(Γ ij m ∂ m , ∂ l ) = 1 2 (∂ ig jl + ∂ j g il − ∂ l g ij ).
Multiplikation beider Seiten mit g kl und Summation liefert wegen g kl g ml = δ k m
Γ ij k = 1 2 gkl (∂ i g jl + ∂ j g il − ∂ l g ij ). (14.9.3)
Der Vergleich mit (11.8.3) zeigt, dass die dort definierten Christoffelsymbole diejenigen
des Levi–Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform der Fläche sind.
Und unser Beweis des Satzes ist im Wesentlichen identisch zur Herleitung der Gleichung
(11.8.3). Der in Abschnitt 14.5 eingeführte Zusammenhang muss also der
Levi–Civita–Zusammenhang der ersten Fundamentalform sein. Wir werden das
nun auch in allgemeinerem Kontext zeigen.
14.10. Levi–Civita–Zusammenhang von Untermannigfaltigkeiten. Sei
M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit der Riemannschen Mannigfaltigkeit (N, h), und
sei ι M : M → N die Inklusion. Dann ist der Pullback g = ι ∗ M h eine Riemannsche
Metrik auf M, die auf M induzierte Metrik. Sei
Π : (T N)| M → T M
die faserweise orthogonale Projektion, d.h. für alle p ∈ M ist die Einschränkung
Π| TpN : T p N → T p M die orthogonale Projektion bezüglich des Skalarproduktes
h(p) auf T p N. Man sieht leicht, dass Π differenzierbar ist.
Lemma. Ist ∇ N der Levi–Civita–Zusammenhang von (N, h), dann ist der Levi–
Civita–Zusammenhang der auf M induzierten Metrik g = ι ∗ M h gegeben durch
∇ M X Y = Π ◦ ∇N X Y (14.10.1)
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