DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Bereiche negativer Krümmung zu, so wird die Aussage falsch. Man kann das leicht
anhand von Drehflächen einsehen, die man aus einer Sphäre erhält, indem man
zunächst eine Umgebung eines Punktes abplattet, um dann den abgeplatteten Bereich
mit einer entweder nach innen, oder symmetrisch dazu nach außen gerichteten
differenzierbaren Beule zu versehen.
Verbiegungen. Es ist nicht bekannt, ob es kompakte zusammenhängende Flächen
M ⊆ R 3 gibt, die nichttriviale isometrische Deformationen zulassen. Eine isometrische
Deformation von M ist dabei eine C ∞ –Abbildung f : [0, 1] × M → R 3 mit
der Eigenschaft, dass f 0 := f(0, ·) die Inklusionsabbildung ι M : M → R 3 ist und
jede der Abbildungen f t := f(t, ·) eine isometrische Einbettung (M, g) → (R 3 , g R 3).
Dabei ist g die erste Fundamentalform von M. Eine isometrische Deformation
heißt trivial, wenn sie von der Form f(t, p) = A(t)p + b(t) ist mit A(t) ∈ O(3) und
b(t) ∈ R 3 , also lediglich aus einer Kurve euklidischer Bewegungen entsteht.
13.6. Eine Differentialgleichung. Für den Beweis des Starrheitssatzes werden
wir das Kriterium aus Abschnitt 13.3 anwenden. Wir müssen also zeigen, dass bei
geeigneter Wahl der Punkte p 0 ∈ M und ¯p 0 ∈ ¯M für die entsprechenden Funktionen
ρ und ˜ρ = ¯ρ ◦ f gilt ˜ϱ − ϱ = 0. Dazu leiten wir eine Differentialgleichung für die
Funktion v := ˜ϱ − ϱ ∈ C ∞ (M) her, auf die dann das Hopfsche Maximumprinzip
anwendbar sein wird.
Wir verwenden Parametrisierungen wie in Abschnitt 13.3, so dass insbesondere
˜g ij = ḡ ij ◦f = g ij ist. Wegen der Symmetrie g ij = g ji liefert Subtraktion der Darbouxgleichungen
für ˜ϱ und ϱ
1
det(g ij ) (det(˜ϱ ,ij − g ij ) − det(ϱ ,ij − g ij ))
= 2K(˜ϱ − ϱ) − Kg ij (∂ i ˜ϱ∂ j ˜ϱ − ∂ i ϱ∂ j ϱ)
= 2K(˜ϱ − ϱ) − Kg ij (∂ i ˜ϱ + ∂ i ϱ)∂ j (˜ϱ − ϱ).
Die linke Seite dieser Gleichung läßt sich schreiben als
1
(
(˜ϱ ,11 − g 11 )(˜ϱ ,22 − g 22 ) − (˜ϱ ,12 − g 12 ) 2
det(g ij )
)
− (ϱ ,11 − g 11 )(ϱ ,22 − g 22 ) + (ϱ ,12 − g 12 ) 2
1
( 1
=
det(g ij ) 2 (ϱ ,22 − g 22 + ˜ϱ ,22 − g 22 )(˜ϱ ,11 − ϱ ,11 )
− (ϱ ,12 − g 12 + ˜ϱ ,12 − g 12 )(˜ϱ ,12 − ϱ ,12 )
+ 1 )
2 (ϱ ,11 − g 11 + ˜ϱ ,11 − g 11 )(˜ϱ ,22 − ϱ ,22 )
=
1
( 1 (
h22 〈r, n〉 +
det(g ij ) 2
˜h 22 〈˜r, ñ〉 ) v ,11
− ( h 12 〈r, n〉 + ˜h 12 〈˜r, ñ〉 ) v ,12
+ 1 (
h11 〈r, n〉 +
2
˜h 11 〈˜r, ñ〉 ) )
v ,22 .
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