DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Man wählt eine Funktion f ∈ C ∞ (M) mit f(p) = 1, deren Träger supp(f) in U
enthalten ist (siehe 3.7) und setzt
X(q) =
{ ∑ f(q) a
i
∣
∂ ∣q
∂x
, i falls q ∈ U;
0, falls q ∈ M\U.
(b) Nun zeigen wir, dass (Φ(X))(p) nur von X p abhängt, nicht von der Wahl des
Vektorfeldes X. Offenbar genügt es, zu zeigen, dass aus X(p) = 0 folgt (Φ(X))(p) =
0. Zum Beweis hiervon seien (ϕ, U) und f wie in (a). Dann ist X| U = ∑ X i ∂/∂x i
mit X i (p) = 0. Es ist fX i ∈ C ∞ (M) und f ∂/∂x i ∈ V, da f außerhalb von U
verschwindet. Die Linearität von Φ über C ∞ (M) liefert daher
f 2 Φ(X) = Φ(f 2 X)
(
= Φ f ∑ 2 X i ∂
)
∂x
( i ∑
= Φ fXi · f ∂ )
∂x i
= ∑ (
fX i · Φ f ∂ )
∂x i .
Die Auswertung an der Stelle p ergibt (f(p)) 2 Φ(X)(p) = 0, also Φ(X)(p) = 0.
(c) Aus dem Bisherigen ergibt sich, dass für p ∈ M durch (∗) tatsächlich ein Element
A(p) ∈ T1 0 (T p M) definiert wird. Wir zeigen abschließend, dass die Abbildung A :
p ↦→ A(p) differenzierbar ist. Sei (ϕ, U) eine Karte. Dann ist
A| U = ∑ A i dx i
mit den Komponentenfunktionen A i = A(∂/∂x i ). Wir zeigen, dass die A i differenzierbar
sind (siehe 6.4). Sei dazu p ∈ U. Nach Lemma 2 in Abschnitt 3.7
existieren eine Umgebung V ⊆ U von p und eine Funktion f ∈ C ∞ (M) mit Träger
supp(f) ⊆ U und mit f| V ≡ 1. Dann ist f · ∂/∂x i ∈ V (definiert als 0 außerhalb
von U), also Φ(f ∂/∂x i ) ∈ C ∞ (M). Außerdem gilt für die Einschränkung auf V
denn für alle q ∈ V ist
Φ
(
f ∂
∂x i ) ∣ ∣ ∣∣V = A i | V ,
(
Φ f ∂ ) (
∂x i (q) = A(q) f(q) ∂ ∣ ∣∣∣q )
∂x i = A i (q),
da f(q) = 1. Also ist A i | V ∈ C ∞ (V ), und da p ∈ U beliebig war, folgt die
Behauptung. QED
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