DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Außerdem ist
T (π × exp)
∣
∂ ∣∣∣0p
∂X i = d dt∣ (π × exp) ( ¯ϕ −1 (t e n+i ) )
0
= d ( ∣ ∂ ∣∣∣p )
dt∣ (π × exp) t
0
∂x i
= d (
dt∣ p, exp p t ∂ ∣ ∣∣∣p )
0
∂x i
( ∣
∂ ∣∣∣p )
= 0,
∂x i .
Bezüglich der Basis ∂/∂x i | 0p , ∂/∂X i | 0p von T 0p T M und der Basis (∂/∂x i | p , 0),
(0, ∂/∂X i | p ) von T p M × T p M ∼ = T (p,p) (M × M) entspricht T 0p (π × exp) also die
invertierbare 2n × 2n–Matrix ( )
I 0
.
I I
Satz 1. Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine offene Umgebung U ⊆ M von p
und eine offene Umgebung W ⊆ T M von 0 p ∈ T p M mit folgenden Eigenschaften.
(a) Zu je zwei Punkten q, r ∈ U gibt es genau eine Geodätische c qr : [0, 1] → M mit
c qr (0) = q und c qr (1) = r und ċ qr (0) ∈ W .
(b) Die durch (q, r) ↦→ ċ qr (0) gegebene Abbildung U × U → T M ist differenzierbar.
(c) Für alle q ∈ U ist exp q | W ∩TqM eine Einbettung.
Aussage (a) lässt sich auch wie folgt formulieren: Zu je zwei Punkten q, r ∈ U existiert
ein eindeutig bestimmter Tangentialvektor X q ∈ T q M ∩ W mit exp(X q ) = r.
Beweis. Wir wählen W und U so, dass π × exp die Umgebung W diffeomorph
auf U × U abbildet. Solche Umgebungen existieren aufgrund des letzten Lemmas,
und Teil (a) und (b) folgen unmittelbar. Zum Beweis von (c) bemerkt man, dass
(π × exp)| W eine Einbettung ist. Da allgemein Einschränkungen von Einbettungen
auf Untermannigfaltigkeiten wieder Einbettungen sind, ist auch
(π × exp)| W ∩TqM = const q × (exp | W ∩TqM)
eine Einbettung. Dabei bezeichnet const q die konstante Abbildung W ∩T q M → {q}.
QED
Wir geben noch eine Variante des Satzes für Mannigfaltigkeiten mit Riemannscher
Metrik. Dabei bezeichnet B(p, ε) den Ball
B(p, ε) = {q ∈ M | d(p, q) < ε}
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