DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Proposition. (a) Zu jedem Tangentialvektor X a ∈ T c(a) M existiert genau ein paralleles
Vektorfeld X längs c mit X(a) = X a .
(b) Die Abbildung
P c b,a : T c(a) M → T c(b) M
mit P c b,a (X a) := X(b) ist ein Vektorraumisomorphismus.
(c) Parameterunabhängigkeit: Ist σ : [a ′ , b ′ ] → [a, b] eine C ∞ –Abbildung, und ist
c ′ = c ◦ σ, dann gilt P c′
b ′ ,a ′ = P c b,a .
Die Abbildung Pb,a c heißt die Parallelverschiebung längs c von c(a) nach c(b)—oder
genauer: von a nach b. Die Parallelverschiebung längs stückweise differenzierbarer
Kurven ist in der naheliegenden Weise definiert, und man setzt
P c a,b := ( P c b,a) −1.
Beweis. Man kann annehmen, dass eine Karte (ϕ, U) existiert mit c([a, b]) ⊆ U
(andernfalls unterteile man c). Dann ist die Bedingung ∇X/dt = 0 äquivalent zum
linearen Differentialgleichungssystem
dX k
dt
+ dci
dt Xj Γ ij k ◦c = 0. (15.2.1)
Die Behauptung (a) folgt aus dem Existenz– und Eindeutigkeitsatz in Abschnitt
9.5. Zum Beweis der Linearität der Abbildung Pb,a c bemerken wir zunächst, dass
für parallele Vektorfelder X und Y längs c und Konstanten λ, µ ∈ R auch das
Vektorfeld λX + µY längs c parallel ist. Es folgt
P c b,a(
λ X(a) + µ Y (a)
)
= λ X(b) + µ Y (b)
= λ Pb,a c (X(a)) + µ P b,a c (Y (a)).
Die Abbildung Pb,a c ist injektiv, da die Lösung der Differentialgleichung (15.2.1)
durch den Anfangswert X(a) eindeutig bestimmt ist. Aus Dimensionsgründen ist
sie folglich auch surjektiv. Ist schließlich X parallel längs c, so ist X ′ := X ◦ σ
parallel längs der Kurve c ′ = c ◦ σ, wie aus (15.2.1) mit Hilfe der Kettenregel folgt.
Damit ist
wie behauptet. QED
Pb c′
′ c′
,a′X(a) = Pb ′ ,a ′X′ (a ′ ) = X ′ (b ′ ) = X(b) = Pb,a c X(a),
15.3. Taylorsche Formel. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M, und sei X ein
Vektorfeld längs der differenzierbaren Kurve c : I → M. Wir schreiben abkürzend
( ∇
) kX
X (k) =
dt
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