DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(b) Der Vergleich mit (12.7.5) zeigt, dass für Flächen M ⊆ R 3 und E = T p M die
Schnittkrümmung K(E) der ersten Fundamentalform mit der Gaußkrümmung im
Punkt p übereinstimmt.
(c) Riccikrümmung und Skalarkrümmung lassen sich (abgesehen von einem Faktor)
als gemittelte Schnittkrümmungen deuten. Ist nämlich e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis
von T p M, dann gelten offenbar
Ric(e j , e j ) =
scal(p) =
∑
k=1,...,n
∑
j=1,...,n
〈R(e k , e j )e j , e k 〉 =
Ric(e j , e j ) =
∑
j,k=1...,n
k≠j
∑
k=1,...,n
k≠j
K(e k , e j )
K(e j , e k ).
(20.5.2)
Proposition. (Schnittkrümmung bestimmt R). Für alle Vektorfelder X, Y, Z, W ∈
V(M) gilt
〈R(X, Y )Y, Z〉 = 1 4
(
〈R(X+Z, Y )Y, X+Z〉 − 〈R(X−Z, Y )Y, X−Z〉
)
〈R(X, Y )Z, W 〉 = 1 6(
〈R(X, Y +Z)(Y +Z), W 〉 − 〈R(X, Y −Z)(Y −Z), W 〉
− 〈R(Y, X+Z)(X+Z), W 〉 + 〈R(Y, X−Z)(X−Z), W 〉 ) .
Insbesondere ist der Krümmungstensor R in jedem Punkt durch das Skalarprodukt
g = 〈 , 〉 und die Funktion (X, Y ) ↦→ K(X, Y ) bestimmt. Die Metrik ist genau dann
flach, wenn ihre Schnittkrümmung verschwindet.
Beweis. Beide Gleichungen ergeben sich durch einfache Rechnung. Dabei werden
nur die Multilinearität von 〈R(X, Y, )Z, W 〉 und die Krümmungsidentitäten
(a)–(d) aus Abschnitt 20.1 verwendet. Zum Nachweis von (b) verwenden wir die
Kurzschreibweise XY ZW = 〈R(X, Y )Z, W 〉. Mit der Linearität in jeder der Variablen
und den Krümmungsidentitäten aus 20.1 ergibt sich
X(Y +Z)(Y +Z)W − X(Y −Z)(Y −Z)W
−Y (X+Z)(X+Z)W + Y (X−Z)(X−Z)W
wie behauptet. QED
= X(Y Y +ZY +Y Z+ZZ)W − X(Y Y −ZY −Y Z+ZZ)W
− Y (XX+ZX+XZ+ZZ)W + Y (XX−ZX−XZ+ZZ)W
= 2(XZY W + XY ZW − Y ZXW − Y XZW )
= 2(XZY W + XY ZW + ZY XW + XY ZW )
= 2(−Y XZW + 2XY ZW ) (Bianchi–Identität)
= 6 XY ZW,
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