DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

dann ist f| S 2 eine C ∞ –Funktion auf S 2 bezüglich der durch 1.6 gegebenen Standard-C
∞ –Struktur auf der 2–Sphäre S 2 ⊆ R 3 .
2.7. Beispiel. Der Zylinder M = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 +y 2 = 1} ist als Niveaumenge
von f(x, y, z) = x 2 + y 2 eine C ∞ –Untermannigfaltigkeit von R 3 (siehe 2.4(a)). Die
punktierte Ebene N = R 2 \ {0} ist als offene Teilmenge der C ∞ – Mannigfaltigkeit
R 2 ebenfalls eine C ∞ –Mannigfaltigkeit. Sei ϕ : M → N die Abbildung ϕ(x, y, z) =
(e z x, e z y). Dann ist ϕ bijektiv, ϕ ∈ C ∞ (M, N) nach 2.6(a) und man berechnet
(
ϕ −1 u
(u, v) = √
u2 + v , v
√ 2 u2 + v , 1 )
2 2 ln(u2 + v 2 ) .
Nach 2.6(b) ist also auch ϕ −1 ∈ C ∞ (N, M). Daher ist ϕ ein C ∞ –Diffeomorphismus
des Zylinders auf die punktierte Ebene.
Wir betrachten nun Untermannigfaltigkeiten beliebiger Mannigfaltigkeiten.
2.8. Definition. Sei (N, A) eine C k –Mannigfaltigkeit der Dimension n. Eine
Teilmenge M ⊆ N heißt eine m–dimensionale Untermannigfaltigkeit von N wenn
folgendes gilt: Zu jedem p ∈ M existiert eine Karte (ϕ, U) ∈ A mit p ∈ U und mit
der Eigenschaft
ϕ(U ∩ M) = ϕ(U) ∩ (R m × {0}).
Jede solche Karte (ϕ, U) heißt eine an M angepasste Karte.
2.9. Bemerkungen. (a) Für N = R n mit der üblichen C k –Struktur ist das die
Definition aus 2.2(b).
(b) Man kann die Definition noch erweitern, indem man für k ≤ l ≤ ∞ den Begriff
der C k –Untermannigfaltigkeit einer C l –Mannigfaltigkeit einführt. Mit 2.2.(b)
haben wir das im Spezialfall l = ∞, N = R n bereits getan, und diese Definition
(mit Hilfe von C k –Diffeomorphismen ϕ) lässt sich in naheliegender Weise verallgemeinern.
(c) Jede offene Teilmenge U ⊆ N ist eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit von
N. Jede Einpunktmenge {p} mit p ∈ N, oder allgemeiner jede diskrete Teilmenge
von N ist eine 0–dimensionale Untermannigfaltigkeit von N.
(d) Seien (N, A) und (N ′ , A ′ ) zwei C k –Mannigfaltigkeiten und sei f : N → N ′ ein
C k –Diffeomorphismus. Eine Teilmenge M ⊆ N ist genau dann eine Untermannigfaltigkeit
von N, wenn ihr Bild f(M) eine Untermannigfaltigkeit von N ′ ist. Ist
nämlich (ϕ, U) eine an M angepasste Karte, dann ist (ϕ◦f −1 , f(U)) eine an das Bild
f(M) angepasste Karte. Diffeomorphismen bilden also Untermannigfaltigkeiten auf
Untermannigfaltigkeiten ab.
2.10. Lemma. (Untermannigfaltigkeiten von C k –Mannigfaltigkeiten sind selbst
C k –Mannigfaltigkeiten). Seien (N, A) eine n–dimensionale C k –Mannigfaltigkeit
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