DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

jedem Punkt q ∈ U eine Basis des Vektorraumes E q bilden. Ein Schnitt σ ∈ Γ(E)
besitzt auf U eine Darstellung als Linearkombination ξ| U = ∑ ξ µ σ µ mit gewissen
Komponentenfunktionen ξ µ ∈ C ∞ (M). Wenn man U nötigenfalls noch verkleinert,
so ist U auch Definitionsbereich einer Karte von M, die dann Basisvektorfelder ∂ i
liefert. Definiert man Christoffelsymbole durch
∇ ∂i σ µ = Γ iµ ν σ ν ,
dann hat man die der Gleichung (14.3.2) entsprechende Beziehung
(∇ X ξ) ∣ = ( X(ξ µ ) + X i ξ µ ν
Γ ) iµ σ ν .
U
Aufgaben
1. Standardzusammenhang. Zeigen Sie, dass der Standardzusammenhang ∇
auf R n der Levi–Civita–Zusammenhang der Standardmetrik ḡ = ∑ dx i ⊗ dx i ist.
2. Raum aller Zusammenhänge. Nach Abschnitt 6.7 sind (2, 1)–Tensorfelder A
auf einer Mannigfaltigkeit M dasselbe wie Abbildungen A : V × V → V, die bilinear
über C ∞ (M) sind. Zeigen Sie:
(a) Ist ∇ ein Zusammenhang auf M und A ein (2, 1)–Tensorfeld, dann ist ∇ + A,
definiert als (∇ + A)(X, Y ) = ∇ X Y + A(X, Y ), ein Zusammenhang auf M.
(b) Sind ∇ und ∇ ′ Zusammenhänge auf M, dann ist A = ∇ − ∇ ′ ein (2, 1)–
Tensorfeld.
(c) Die Menge aller Zusammenhänge auf M ist ein affiner Raum, dessen unterliegender
Vektorraum der Raum aller differenzierbaren (2, 1)–Tensorfelder auf M
ist.
3. Kein kanonischer Zusammenhang. Zeigen Sie, dass es keine Möglichkeit
gibt, jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit M einen Zusammenhang ∇ M dergestalt
zuzuordnen, dass folgendes gilt: Ist φ : M → N ein Diffeomorphismus, dann
gilt für alle X, Y ∈ V(M)
φ ∗ (∇ M X Y ) = ∇ N φ ∗Xφ ∗ Y .
4. Produktregel. Zeigen Sie, dass für die kovariante Ableitung von Tensorfeldern
folgende Form der Produktregel gilt:
(A i1,...,i r
j 1...,j s
B k1,...,k p
l 1...,l q
) ,m = A i1,...,i r
j 1...,j s ,m B k1,...,k p
l 1...,l q
144
+ A i1,...,i r
j 1...,j s
B k1,...,k p
l 1...,l q ,m .