DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

damit ist die Forderung, dass alle Einheitsvektoren X ∈ T M der Ungleichung
Ric(X, X) ≥ (n−1)κ genügen. Diese Voraussetzung ist nach (20.5.2) insbesondere
dann erfüllt, wenn für die Schnittkrümmung K ≥ κ gilt.
(ii) Der Beweis des Satzes zeigt, dass man die Voraussetzung der Vollständigkeit
von (M, g) ersetzen kann durch die Forderung, dass je zwei Punkte in M durch eine
kürzeste Geodätische verbunden werden können. Man vergleiche aber Aufgabe 2.
(iii) Für die Standardsphäre S n κ vom Radius 1/√ κ, also mit Schnittkrümmung κ, ist
Ric = (n−1)κg und der Durchmesser diam(S n κ ) = π/ √ κ. In diesem Beispiel besteht
also Gleichheit in der Durchmesserabschätzung des Satzes von Bonnet–Myers. Der
Starrheitssatz von Cheng (1975) besagt:
Jede kompakte zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riccikrümmung
Ric ≥ (n−1)κg und Durchmesser diam = π/ √ κ ist isometrisch zu S n κ .
Wir kommen nun zum Beweis des Satzes von Bonnet–Myers. Seien p, q ∈ M.
Wir werden zeigen, dass der Abstand d(p, q) ≤ π/ √ κ ist. Sei c : [0, l] → M
eine kürzeste Geodätische von p nach q mit ‖ċ‖ = 1. Eine solche Geodätische
existiert nach dem Satz von Hopf und Rinow, da die Mannigfaltigkeit als vollständig
vorausgesetzt ist. Dann ist l = L(c) = d(p, q), und wir zeigen, dass l ≤ π/ √ κ gilt.
Seien dazu e 1 , . . . , e n orthonormale parallele Vektorfelder längs c mit e n = ċ, und
sei für j = 1, . . . , n − 1
( πt
)
V j (t) = sin e j (t).
l
Es gilt V j (0) = 0 und V j (l) = 0. Sei H j die Variation H j (s, t) = exp(sV j (t)). Dann
ist ∂H j /∂s(0, t) = V j (t), und die zweite Variationsformel ergibt
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(H j (s, ·)) =
=
∫ l
0
∫ l
0
(
〈∇t V j , ∇ t V j 〉 − 〈R(V j , ċ)ċ, V j 〉 ) dt
π 2 ( πt
)
l 2 cos2 l
Summation über j = 1, . . . , n − 1 liefert wegen (20.5.2)
n−1
∑
j=1
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(H j (s, ·)) = (n−1) π2
l 2 ∫ l
0
∫ l
≤ (n−1) π2
l 2
( π
2
= (n−1)
l 2
0
( cos 2 πt
)
dt −
l
( − sin 2 πt
)
K(e j , ċ) dt.
l
∫ l
(
cos 2 πt
)
dt − (n−1)κ
l
− κ
) ∫ l
0
0
(
cos 2 πt
)
dt.
l
( sin 2 πt
)
Ric(ċ, ċ) dt
l
∫ l
0
( sin 2 πt
)
dt
l
Wäre nun l > π/ √ κ, dann wäre die rechte Seite dieser Ungleichung negativ, und
daher d 2 /ds 2 | 0 L(H j (s, ·)) < 0 für einen Index j. Die entsprechende Variation H j
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